普遍有向点族

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普遍有向点族

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/29 17:06 UTC 版)

「有向点族」の記事における「普遍有向点族」の解説

有向点族に関する諸概念は基本的に点列に関する概念を焼きなおしたものであるが、以下で述べる普遍性の概念は、有向点族に固有のものである。 定義（普遍有向点族）位相空間X 上の有向点族(xλ)λ∈Λが普遍 (universal、完全とも)であるとは、X の任意の部分集合 A に対し、(xλ)λ∈Λが A にほとんど含まれるかもしくは A の X における補集合にほとんど含まれる事をいう。 普遍性の概念は点列ではなく有向点族の概念に基づいている事が重要であり、普遍性を満たす点列は自明なもの（＝有限個を除いて常に同じ点を指す点列）のみである事が知られている。 任意の有向点族は普遍な部分有向点族を必ず持つ事が知られている： 定理（普遍部分有向点族の存在性）X を位相空間とする。このときX 上の任意の有向点族(xλ)λ∈Λに対し、ある部分有向点族(x h(γ))γ∈Γが存在し、(x h(γ))γ∈Γは普遍である。 上記の定理の証明にはフィルターの概念を用いる為、証明は後の章に譲る。 なお上記の定理は部分有向点族の定義でh が単射でないものを許容した事を本質的に利用しており、もしh として単射なもののみを許す事にすると上記の定理は成り立たない。反例として、(xλ)λ∈Λが点列である場合を考える。この場合、部分有向点族(x h(γ))γ∈Γ自身が部分列として必然的に点列になるが、この場合部分列(x h(γ))γ∈Γが普遍になるのは、それ自身が（前述の意味で）自明な点列である場合に限られる。しかしその場合のh は単射でない。h を単射に限定すると、部分列は決して自明な点列にはならない（すなわち普遍な部分有向点族にならない）。 以下の定理は定義から明らかである： 定理普遍有向点族の部分有向点族は普遍有向点族である。 以上２つの定理から、有向点族は必ず普遍有向点族を部分有向点族として、その普遍有向点族のさらに部分有向点族を取るとまた普遍有向点族になる。