普遍射がhom集合随伴を導くこと
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/28 14:11 UTC 版)
「随伴関手」の記事における「普遍射がhom集合随伴を導くこと」の解説
普遍射の意味での右随伴関手 G : C → D {\displaystyle G:C\to D} が与えられたとして、以下の手順を行う。 関手 F : C ← D {\displaystyle F:C\gets D} と自然変換 η {\displaystyle \eta } を構成するDの各対象Yに対して、YからGへの普遍射 ( F ( Y ) , η Y ) {\displaystyle (F(Y),\eta _{Y})} を選ぶ。すなわち、 η Y : Y → G ( F ( Y ) ) {\displaystyle \eta _{Y}:Y\to G(F(Y))} が得られ、対象関数Fと射の族 η {\displaystyle \eta } を得る 各射 f : Y 0 → Y 1 {\displaystyle f:Y_{0}\to Y_{1}} について、 ( F ( Y 0 ) , η Y 0 ) {\displaystyle (F(Y_{0}),\eta _{Y_{0}})} は普遍射であることから、 η Y 0 {\displaystyle \eta _{Y_{0}}} を通して η Y 1 ∘ f {\displaystyle \eta _{Y_{1}}\circ f} を分解し、 F ( f ) : F ( Y 0 ) → F ( Y 1 ) {\displaystyle F(f):F(Y_{0})\to F(Y_{1})} を得る。これがFの射関数である 分解についての可換図式から自然変換としての可換図式が得られる。よって、 η : 1 D → G ∘ F {\displaystyle \eta :1_{D}\to G\circ F} は自然変換となる 分解の一意性とGが関手であることから、Fの射関数が射の合成と恒等射を保存することがわかる 自然同型 Φ : h o m C ( F − , − ) → h o m D ( − , G − ) {\displaystyle \Phi :\mathrm {hom} _{C}(F-,-)\to \mathrm {hom} _{D}(-,G-)} を構成するCの各対象XとDの各対象Yに対して、 ( F ( Y ) , η Y ) {\displaystyle (F(Y),\eta _{Y})} は普遍射であることから、 Φ Y , X {\displaystyle \Phi _{Y,X}} は全単射となる。ここで、 Φ Y , X ( f : F ( Y ) → X ) = G ( f ) ∘ η Y {\displaystyle \Phi _{Y,X}(f:F(Y)\to X)=G(f)\circ \eta _{Y}} とする η {\displaystyle \eta } が自然変換で、Gが関手であることから、全てのCの対象 X 0 {\displaystyle X_{0}} 、 X 1 {\displaystyle X_{1}} とDの対象 Y 0 {\displaystyle Y_{0}} 、 Y 1 {\displaystyle Y_{1}} と全ての射 x : X 0 → X 1 {\displaystyle x:X_{0}\to X_{1}} と y : Y 1 → Y 0 {\displaystyle y:Y_{1}\to Y_{0}} に対して、 Φ Y 1 , X 1 ( x ∘ f ∘ F ( y ) ) = G ( x ) ∘ G ( f ) ∘ G ( F ( y ) ) ∘ η Y 1 = G ( x ) ∘ G ( f ) ∘ η Y 0 ∘ y = G ( x ) ∘ Φ Y 0 , X 0 ( f ) ∘ y {\displaystyle \Phi _{Y_{1},X_{1}}(x\circ f\circ F(y))=G(x)\circ G(f)\circ G(F(y))\circ \eta _{Y_{1}}=G(x)\circ G(f)\circ \eta _{Y_{0}}\circ y=G(x)\circ \Phi _{Y_{0},X_{0}}(f)\circ y} であり、Φは両方の引数に関して自然である。 同様の議論により普遍射による左随伴関手の定義からhom集合の随伴を構成することができる。(右随伴を元に構成するほうが普通である。なぜなら、随伴対の右随伴を包含関手や忘却関手により自明なやり方で定めることが多くあるからである。)
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