普遍射による定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/28 14:11 UTC 版)
関手 F : C ← D が左随伴関手であるとは、Cの各対象Xに対して、FからXへの普遍射が存在することである。Cの各対象Xに関してDの対象G0XとFからXへの普遍射εX : F(G0X) → Xを決めると、関手G : C → Dで、GX = G0Xと、任意のCの射f : X → XʹについてεXʹ ∘ {\displaystyle \circ } FG(f) = f ∘ {\displaystyle \circ } εXが成り立つものが一意的に存在する。このとき、FはGの左随伴であるという。 関手 G : C → D が右随伴関手であるとは、Dの各対象Yに対して、YからGへの普遍射が存在することである。Dの各対象Yに関してCの対象F0YとYからGへの普遍射ηY : Y → G(F0Y)を決めると、関手F : C ← Dで、FY = F0Yと、任意のDの射g : Y → YʹについてGF(g) ∘ {\displaystyle \circ } ηY = ηYʹ ∘ {\displaystyle \circ } gが成り立つものが一意的に存在する。このとき、GはFの右随伴であるという。 注意 用語から分かるように、FがGの左随伴であることとGがFの右随伴であることが同値であることは正しい。これは下記の対称的な定義では明らかである。普遍射を用いた定義は、与えられた関手が左または右随伴関手であることだけを確かめたいときに、必要な証明が最小限となるため、しばしば有用である。また、普遍射を求めることは最適化問題を解くことと似ているため、直観的でもある。
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