部分有向点族

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部分有向点族

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/29 17:06 UTC 版)

「有向点族」の記事における「部分有向点族」の解説

定義（部分有向点族）Γ、Λを有向集合とし、h : Γ→Λを以下の性質を満たす写像とするとき、(x h(γ))γ∈Γを(xλ)λ∈Λの部分有向点族(subnet)と呼ぶ。 (単調性) 任意のγ, ξ ∈ Γに対し、γ ≤ ξ⇒h (γ) ≤ h (ξ) (共終(cofinal)性) 任意のλ ∈ Λに対し適当なγ ∈ Γ が存在し、λ ≤ h (γ) 部分有向点族の概念は点列の部分列の概念の自然な一般化になっており、実際点列(x n)nの部分列 ( x n k ) k を考えた場合、添字集合間の写像 k ↦ n k は上の２条件を満たす。 しかし部分有向点族の定義は１つだけ点列の部分列の定義とは大きく異なる所があり、点列の部分列の場合は k ↦ n k は必ず単射になるのに対し、部分有向点族の定義はh が単射である事を要求しない。これはもしh に単射性を要求すると病的な例（Tychonoff plank）のせいでいくつかの当然と思われる定理が成り立たなくなってしまうからである。（なお、h が単射である場合の部分有向点族を特に共終部分有向点族と呼ぶ。） こうした差異が原因で、点列(x n)nを有向点族とみなした場合の部分有向点族は点列になっていない場合もあり得る。実際、(x h(γ))γ∈Γを(x n)nの部分有向点族とすると、h が単射でない事から同じx nが部分有向点族に複数回（場合によっては非可算無限回）登場するかもしれないし、Γも全順序ではないかもしれない。

部分有向点族

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/04 05:30 UTC 版)

「位相空間」の記事における「部分有向点族」の解説

先に進む前に部分有向点族の概念を定義する。この概念は収束概念を定義する上では使わないが、収束概念を使って位相空間上の他の概念を定式化する際に用いる。 定義 (部分有向点族) ― Xを集合とし、X上の有向点族 ( y γ ) γ ∈ Γ 、 ( x λ ) λ ∈ Λ に対し、以下の性質を満たすh : Γ→Λが存在するとき、 ( y γ ) γ ∈ Γ は ( x λ ) λ ∈ Λ の部分有向点族という： ∀ γ ∈ Γ   :   y γ = x h ( γ ) ∀ λ ∈ Λ ∃ γ 0 ∈ Γ ∀ γ ∈ Γ   :   γ ≥ γ 0 ⇒ h ( γ ) ≥ λ （2を強共終性(英: strong cofinality)という） 上の定義でhが単射である事を要求してない事に注意されたい。これはもしh に単射性を要求すると病的な例（Tychonoff plank）のせいでいくつかの当然と思われる定理が成り立たなくなってしまうからである。 これが原因で、点列 ( x n ) n ∈ N を有向点族とみなした場合の部分有向点族は点列になっていない場合もあり得る。実際、 ( x h ( γ ) ) γ ∈ Γ を ( x n ) n ∈ N の部分有向点族とすると、h が単射でない事から同じx nが部分有向点族に複数回（場合によっては非可算無限回）登場するかもしれないし、Γも全順序ではないかもしれない。 なお本項に載せた部分有向点族の定義は(Kelly 1975)による。書籍によってはこれとは異なる定義を採用している場合もあるが、こうした別定義とも何らかの意味で同値である事が示されている。