極限による位相の特徴づけ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/04 05:30 UTC 版)
「位相空間」の記事における「極限による位相の特徴づけ」の解説
最後に有向点族による極限概念によって位相が特徴づけられる事を見る： 定理 (極限による位相の特徴づけ) ― Xを集合とし、 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} をX上の有向点族とXの点の組からなるクラスとする。 ( ( x λ ) λ ∈ Λ , y ) ∈ C {\displaystyle ((x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda },y)\in {\mathcal {C}}} であるとき ( x λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} がyに C {\displaystyle {\mathcal {C}}} -収束するという事にするとき、以下が成立するとする： xλが恒等的にyに等しければ、 ( x λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} はyに C {\displaystyle {\mathcal {C}}} -収束する ( x λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} がyに C {\displaystyle {\mathcal {C}}} -収束するとき、 ( x λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} の任意の部分有向点族もyに C {\displaystyle {\mathcal {C}}} -収束する ( x λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} がyに C {\displaystyle {\mathcal {C}}} -収束しないとき、 ( x λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} の部分有向点族 ( x λ γ ) γ ∈ Γ {\displaystyle (x_{\lambda _{\gamma }})_{\gamma \in \Gamma }} で ( x λ γ ) γ ∈ Γ {\displaystyle (x_{\lambda _{\gamma }})_{\gamma \in \Gamma }} のいかなる部分有向点族もyに C {\displaystyle {\mathcal {C}}} -収束しないものが存在する。 二重極限の定理で「収束」を「 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} -収束」に置き換えたものを満たす。 このときX上の位相構造 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} で ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} における有向点族の収束が C {\displaystyle {\mathcal {C}}} -収束に一致するものが唯一存在する。 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} における閉包作用素は具体的には以下のように書ける： A ¯ = { y ∈ X | ∃ ( x λ ) λ ∈ Λ ⊂ A : ( x λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle {\bar {A}}={\Bigg \{}y\in X~{\Bigg |}~\exists (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }\subset A~:~(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} はyに C {\displaystyle {\mathcal {C}}} -収束する } {\displaystyle {\Bigg \}}}
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