（余）極限としてのカン拡張
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/04/30 02:20 UTC 版)
「Kan拡張」の記事における「（余）極限としてのカン拡張」の解説
X : A → C {\displaystyle X:\mathbf {A} \to \mathbf {C} } と F : A → B {\displaystyle F:\mathbf {A} \to \mathbf {B} } を関手とする。Aが小さい圏でCは余完備である場合は、 X {\displaystyle X} の F {\displaystyle F} に沿った左カン拡張 L a n F X {\displaystyle \mathrm {Lan} _{F}X} が存在して、Bの各対象bに対して ( L a n F X ) ( b ) = lim → f : F a → b X ( a ) {\displaystyle (\mathrm {Lan} _{F}X)(b)=\varinjlim _{f:Fa\to b}X(a)} により定義される。ただし余極限はコンマ圏 ( F ↓ b ) {\displaystyle (F\downarrow b)} の上で取られるとする。 双対的にAが小さい圏で Cが完備ならば、 X {\displaystyle X} の F {\displaystyle F} に沿った右カン拡張が存在し、極限として求められる。
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