二重極限の定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/04 05:30 UTC 版)
次に有向点族の二重極限に関する定理を紹介する。後述するように、この定理は有向点族の極限で位相を特徴づける際に役立つ。定理を記述するため、まず有向集合の直積に有向集合構造が入る事を見る： 命題・定義 (有向集合の直積) ― (Γλ)λ∈Γを有向集合の族とするとき、(Γλ)λ∈Γの集合としての直積 × λ ∈ Λ Γ λ {\displaystyle {\underset {\lambda \in \Lambda }{\times }}\Gamma _{\lambda }} に ( γ λ ) λ ∈ Λ ≥ ( ξ λ ) λ ∈ Λ : ⟺ ∀ λ ∈ Λ : γ λ ≥ ξ λ {\displaystyle (\gamma _{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }\geq (\xi _{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }~:\iff \forall \lambda \in \Lambda ~:~\gamma _{\lambda }\geq \xi _{\lambda }} という順序を入れると、 × λ ∈ Λ Γ λ {\displaystyle {\underset {\lambda \in \Lambda }{\times }}\Gamma _{\lambda }} は有向集合になる。この順序をいれた × λ ∈ Λ Γ λ {\displaystyle {\underset {\lambda \in \Lambda }{\times }}\Gamma _{\lambda }} を(Γλ)λ∈Γの有向集合としての直積という。 定理 (二重極限の定理（英: Theorem on Iterated limit）) ― Λを有向集合とし、各λ∈Λに対し、Γλを有向集合とし、 ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} を位相空間とする。各λ∈Λに対し、有向集合Γλを添え字とするX上の有向点族 x λ = ( x λ , γ ) γ ∈ Γ λ {\displaystyle x_{\lambda }=(x_{\lambda ,\gamma })_{\gamma \in \Gamma _{\lambda }}} が、yλに収束するとし、さらに有向点族 ( y λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (y_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} がzに収束するものとする。 (Γλ)λ∈Λの直積を Γ = × λ ∈ Λ Γ λ {\displaystyle \Gamma ={\underset {\lambda \in \Lambda }{\times }}\Gamma _{\lambda }} とし、有向点族 ( w λ , ξ ) ( λ , ξ ) ∈ Λ × Γ = ( x λ , ξ λ ) ( λ , ξ ) ∈ Λ × Γ {\displaystyle (w_{\lambda ,\xi })_{(\lambda ,\xi )\in \Lambda \times \Gamma }=(x_{\lambda ,\xi _{\lambda }})_{(\lambda ,\xi )\in \Lambda \times \Gamma }} を考える（ただし ξ = ( ξ λ ) λ ∈ Λ ∈ Γ = × λ ∈ Λ Γ λ {\displaystyle \xi =(\xi _{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }\in \Gamma ={\underset {\lambda \in \Lambda }{\times }}\Gamma _{\lambda }} と定める）。 このとき ( w λ , ξ ) ( λ , ξ ) ∈ Λ × Γ {\displaystyle (w_{\lambda ,\xi })_{(\lambda ,\xi )\in \Lambda \times \Gamma }} はzに収束する。
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