普遍部分有向点族の存在性定理の証明の概略
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/29 17:06 UTC 版)
「有向点族」の記事における「普遍部分有向点族の存在性定理の証明の概略」の解説
この定理の証明では上で作った関数ＩとＪ（を少し改変したもの）を用いる。 (xλ)λ∈Λを位相空間X 上の任意の有向点族とし、 B = I ( ( x λ ) λ ∈ Λ ) {\displaystyle {\mathcal {B}}=I((x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda })} とし、 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} を B {\displaystyle {\mathcal {B}}} より細かい極大フィルターとする。（このような M {\displaystyle {\mathcal {M}}} の存在性はツォルンの補題より容易に示せる。） さらに添え字集合Γを Γ = { ( A , λ ) ∈ M × Λ ∣ x λ ∈ A } {\displaystyle \Gamma =\{(A,\lambda )\in {\mathcal {M}}\times \Lambda \mid x_{\lambda }\in A\}} により定義し包含関係の逆順序とΛの順序の直積順序を入れ、h を γ = ( A , λ ) ∈ Γ ↦ λ ∈ Λ {\displaystyle \gamma =(A,\lambda )\in \Gamma \mapsto \lambda \in \Lambda } により定義すると有向点族(xh(γ))γ∈Γが(xλ)λ∈Λの部分有向点族となる事が簡単に確かめられる。しかも M {\displaystyle {\mathcal {M}}} の極大性からこの有向点族の普遍性が従う。
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