測度空間上の対称差
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/24 14:24 UTC 版)
2つの集合の対称差の「大きさ」は2つの集合がどれだけ異なるかを表していると思える。今 μ を集合 X 上の測度とし Σ を測度有限な可測集合全体とする。このときΣ×Σ上の関数のdを d μ ( A , B ) := μ ( A △ B ) {\displaystyle d_{\mu }(A,B):=\mu (A\triangle B)} と定めると、これは Σ 上の擬距離になる。 この擬距離に関して2つの集合間の距離が0になることは、2つの集合の定義関数が μ に関して殆どいたるところ一致することの必要十分条件である。 A,B が Σ の元であるとき | μ ( A ) − μ ( B ) | ≤ μ ( A △ B ) {\displaystyle |\mu (A)-\mu (B)|\leq \mu (A\,\triangle \,B)} が成立する。
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