測度論との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2014/10/03 18:01 UTC 版)
集合環 上で定義された測度を、 が生成する σ-加法族にまで延長することを述べた古典的なカラテオドリの拡張定理の示すところによれば、この構成で得られる測度は有限測度ではなく、測度無限大の部分集合を考慮せねばならないということになる。σ-有限な測度から構成を始めるならば、別な拡張法もある。これは によって生成される（σ-集合代数ではなく）δ-集合環を与える拡張定理として述べることができる。この状況では測度の定義に値として +∞ を導入することが許される。 集合 X 上の δ-集合環 が与えられたとき、X の部分集合 A が に関して局所可測 (locally measurable) であるとは、 の任意の元 E に対し と定めることにより、μ を に関する局所可測集合全体の成す σ-加法族上の測度に延長することができる。
※この「測度論との関係」の解説は、「δ集合環」の解説の一部です。
「測度論との関係」を含む「δ集合環」の記事については、「δ集合環」の概要を参照ください。
測度論との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/09 01:06 UTC 版)
カラテオドリの拡張定理として知られるルベーグ測度の構成の一般化において、σ-集合代数上の測度は比較的抽象的な方法で構成されるが、その最初の段階は単純である。つまり、構成の初めには集合環 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} の元に対して測度を定義する。あるいは集合環 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} を生成する集合半環から構成を始めることもできる。 実数直線 R 上のルベーグ測度の例において、構成の素とする集合半環は R の有界区間全体の成す族であり、対応する集合環は有界区間の有限合併として得られる部分集合全体の成す集合族である。 この構成の一種として、σ-集合代数と類似の概念を用いるものがある。この文脈ではσ-集合環は可算合併に関して閉じている集合環、δ-集合環は可算交叉に関して閉じている集合環を言う。
※この「測度論との関係」の解説は、「集合環」の解説の一部です。
「測度論との関係」を含む「集合環」の記事については、「集合環」の概要を参照ください。
- 測度論との関係のページへのリンク
