測度論の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/03/23 08:50 UTC 版)
「ハムサンドイッチの定理」の記事における「測度論の場合」の解説
測度論において、Stone & Tukey (1942) は1種類の、より一般的な形式のハムサンドイッチの定理を証明した。それらはいずれも、共通とする集合 X に含まれる n 個の部分集合 X1, X2, …, Xn の2等分に関するものであった。ここで X はカラテオドリ外測度を持ち、各 Xi は有限外測度を持つとされる。 一つ目の一般的な形式化は、次のようなものである: 適切に制限された任意の実関数 f : S n × X → R {\displaystyle f:S^{n}\times X\to \mathbb {R} } に対して、n-球面 Sn に含まれるある点 p が存在し、X を f(s,x) < 0 と f(s,x) > 0 に分割するようなその表面が、 X1, X2, …, Xn の各外測度を同時に2等分する。この証明には、再びボルサック・ウラムの定理が用いられる。この定理は、f(s,x) = s0 + s1x1 + ... + snxn とすることによって標準的なハムサンドイッチの定理を一般化するものである。 二つ目の形式化は次のようなものである：正測度の X の任意の部分集合において線型独立であるような、X の n + 1 個の任意の可測関数 f0, f1, …, fn に対して、ある線型結合 f = a0f0 + a1f1 + ... + anfn が存在し、X を f(x) < 0 と f(x) > 0 へ2等分するようなその表面 f(x) = 0 は、X1, X2, …, Xn の各外測度を同時に2等分する。この定理は、f0(x) = 1 とし、また各 i > 0 に対して fi(x) を x の i 番目の座標とすることによって、標準的なハムサンドイッチの定理を一般化するものである。
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