測度論的表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/07 10:02 UTC 版)
「チェビシェフの不等式」の記事における「測度論的表現」の解説
(X, Σ, μ) を測度空間、f を X 上で定義された拡張実数（無限大を含む）値可測関数とすると、任意の実数 t > 0 に対して μ ( { x ∈ X : | f ( x ) | ≥ t } ) ≤ 1 t 2 ∫ X f 2 d μ {\displaystyle \mu (\{x\in X\,:\,\,|f(x)|\geq t\})\leq {1 \over t^{2}}\int _{X}f^{2}\,d\mu } となる。より一般的には、g が非負実数値可測関数で、f の範囲で減少しないとすれば、 μ ( { x ∈ X : f ( x ) ≥ t } ) ≤ 1 g ( t ) ∫ X g ∘ f d μ {\displaystyle \mu (\{x\in X\,:\,\,f(x)\geq t\})\leq {1 \over g(t)}\int _{X}g\circ f\,d\mu } となる。最初の式は、ここで g(t) を g ( t ) = { t 2 if t ≥ 0 0 otherwise {\displaystyle g(t)={\begin{cases}t^{2}&{\mbox{if}}~~~t\geq 0\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}} で定義し、f の代わりに |f| を用いれば導かれる。
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