測度論的な証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/07 10:02 UTC 版)
「チェビシェフの不等式」の記事における「測度論的な証明」の解説
At を At = {x ∈ X | f(x) ≥ t} で定義すると g ( t ) ≤ g ∘ f ( x ) {\displaystyle g(t)\leq g\circ f(x)} がすべての x ∈ A t {\displaystyle x\in A_{t}} に対して成り立つことより、 g ( t ) μ ( A t ) = ∫ A t g ( t ) d μ ≤ ∫ A t g ∘ f d μ ≤ ∫ X g ∘ f d μ {\displaystyle g(t)\mu (A_{t})=\int _{A_{t}}g(t)\,d\mu \leq \int _{A_{t}}g\circ f\,d\mu \leq \int _{X}g\circ f\,d\mu } となる。上の不等式を g(t) で割れば、目的の不等式が得られる。
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