ラドン＝ニコディムの定理
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数学におけるラドン＝ニコディムの定理（ラドン＝ニコディムのていり、英: Radon–Nikodým theorem）は、測度論の分野における一結果で、ある可測空間 (X, Σ) が与えられたとき、(X, Σ) 上のある σ-有限測度 ν が別の (X, Σ) 上の σ-有限測度 μ に関して絶対連続であるなら、任意の可測部分集合 A ⊂ X に対して次を満たす可測函数 f : X → [0, ∞) が存在することを述べた定理である：
- ^ Nikodym, O. (1930). “Sur une généralisation des intégrales de M. J. Radon” (French). Fundamenta Mathematicae 15: 131–179. JFM 56.0922.02 2009年5月11日閲覧。.
- ^ Zaanen, Adriaan C. (1996). Introduction to Operator Theory in Riesz spaces. Springer. ISBN 3-540-61989-5
- 1 ラドン＝ニコディムの定理とは
- 2 ラドン＝ニコディムの定理の概要
- 3 性質
- 4 さらなる応用
- 5 σ-有限性の仮定
- 6 証明
- 7 関連項目
ラドン＝ニコディムの定理
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「絶対連続」の記事における「ラドン＝ニコディムの定理」の解説
詳細は「ラドン＝ニコディムの定理」を参照 ラドン＝ニコディムの定理によれば、測度 μ がσ-有限な測度 ν に対して絶対連続なとき、μ は ν に関する密度関数、あるいはラドン・ニコディム微分を持つ。これは d μ d ν {\displaystyle {d\mu \over d\nu }} と表される ν-可測関数 f で、任意の ν-可測集合 A について μ ( A ) = ∫ A f d ν {\displaystyle \mu (A)=\int _{A}f\,\mathrm {d} \nu } を満たすものである。 大抵の場合には、n次元ユークリッド空間 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の測度について、他のどの測度に対してかということを明示せずに、単に絶対連続であると言う場合にはルベーグ測度についての絶対連続性が意味されている。 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上のルベーグ測度は σ-有限なので、絶対連続な測度とは密度関数を持つようなもののことであると言い換えることができる。特に、絶対連続な確率測度とは確率密度関数を持つような測度だと言うことになる。
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