符号付測度および複素測度の場合

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符号付測度および複素測度の場合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/01 17:38 UTC 版)

「ラドン＝ニコディムの定理」の記事における「符号付測度および複素測度の場合」の解説

ν が σ-有限の符号付測度であるなら、ハーン＝ジョルダン分解により、いずれかが有限であるような ν = ν+ − ν− に分解することが出来る。それら二つの測度に対して前述の結果を適用することで、それぞれ ν+ および ν− に対してラドン＝ニコディムの定理を満たすような二つの函数 g, h : X → [0, ∞) を得ることが出来る。またそれらの内少なくとも一つは μ-可積分（すなわち、μ に関する積分が有限）となる。 g および h のいずれも μ に関するほとんど至る所での恒等性を除いて一意であるため、 f = g − h が一意性を含む求められる性質を満たしていることは明らかである。 ν が複素測度であるなら、有限値の符号付測度 ν1 および ν2 によって ν = ν1 + iν2 という分解を得ることが出来る。上述の議論を適用することで、それぞれ ν1 および ν2 に対して求められる性質を満たす二つの函数 g, h : X → [0, ∞) を得ることが出来る。明らかに、 f  = g + ih が求める函数である。