拡張定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/09 08:34 UTC 版)
空間 X のすべての部分集合上で定義されるような外測度へと、前測度は極めて自然に拡張されることが分かる。より正確に、μ0 が空間 X の部分集合環 R 上で定義される前測度であるなら、 μ ∗ ( S ) = inf { ∑ n = 1 ∞ μ 0 ( A n ) | A n ∈ R , S ⊆ ⋃ n = 1 ∞ A i } {\displaystyle \mu ^{*}(S)=\inf \left\{\left.\sum _{n=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{n})\right|A_{n}\in R,S\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{i}\right\}} で定義される集合関数 μ∗ は X 上の外測度であり、カラテオドリ可測集合の σ-代数 Σ 上で μ∗ により導かれる測度 μ は、 A ∈ R {\displaystyle A\in R} に対して μ ( A ) = μ 0 ( A ) {\displaystyle \mu (A)=\mu _{0}(A)} を満たす（特に、Σ は R を含む）。 （この記事で用いられている語には、別の用法がいくつか存在することに注意されたい。例えば Rogers (1998) では、この記事における「外測度」のことは「測度」と呼ばれている。外測度は σ-加法的でないこともあり得るため、一般的には測度とは異なる）。
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