ディラック測度の性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/24 03:07 UTC 版)
「ディラック測度」の記事における「ディラック測度の性質」の解説
以下、δx は適当な可測空間 (X, Σ) において、一つ選んで固定した点 x を中心とするディラック測度を表す。 δx は確率測度であり、したがって有限測度である。 また、(X, T) は位相空間で、Σ が少なくとも X 上のボレル代数 σ(T) と同程度には細かいと仮定する。 δx が狭義正測度であるための必要十分条件は、位相 T がすべての空でない開集合に x が含まれるようなものであることである。例えば、自明な位相 {∅, X} の場合が挙げられる。 δx が確率測度であることからは、局所有限測度でもあることもわかる。 ハウスドルフ位相空間 X にそのボレル代数を併せて考えるとき、δx は内部正則測度であるための条件を満たす。なぜならば、 {x} のような単集合は常にコンパクトであるからである。したがって δx はラドン測度でもある。 多くの応用においてそうであるように、位相 T は十分細かく {x} が閉となるものと仮定する。このとき δx の台は {x} である（そうでない場合、supp(δx) は (X, T) における {x} の閉包をとる）。さらに、δx は台が {x} であるような唯一つの確率測度である。 X が n-次元ユークリッド空間 Rn に通常の σ-代数と n-次元ルベーグ測度 λn を入れたものとするとき、δx は λn に関して特異である。実際、Rn を単純に A = Rn ∖ {x} と B = {x} に分解すれば、δx(A) = λn(B) = 0 が成立する。
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