環の構造
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/11 09:31 UTC 版)
ウェダーバーンの定理は状況を修正し、体がアプリオリに非可換であったとしてもすべての単純多元環に対し自然な体が存在する。したがって定理は環の用語で表現できなければならない。ウェダーバーンはできなかったがしかし1908年に 1 つには根基への環を、1 つには半単純を含む分類を提案した。この分解はその後半世紀の間環の理論の基本になった。 この分野の研究の巨匠はエミー・ネーター (Emmy Noether) である。彼女は現代の環論の母のようにしばしば考えられる。彼女は非可換環の理論を発達させイデアルの一般論を基礎づけた。単純多元環と対応する既約イデアルの概念、またイデアルのすべての真の昇鎖が有限であるような環の理論が発展した。この環は今では彼女を称えて名前がついている。 エミール・アルティン (Emil Artin) は研究がネーターによって導入された場合、イデアルのすべての真の降鎖が有限であるような環の場合を特に研究した。長さが有限の半単純環はアルティンかつネーターである。1927年、アルティンは定理の最終的な形を見つけた。線型形式化なしに定理はそれを極大範囲に連れて行き、それは非可換多元環の重要な結果になった。環の大きいクラスは任意の体上の結合多元環の積に同型である。 定理は最終的であるが、逆は未解決のままであった。アルティンかつネーターな環の他の環のどのようなクラスが定理を満たすだろうか？最初の答えは1939年にホプキンス・レヴィツキの定理によって与えられる： Charles Hopkins と Jakob Levitzki は降鎖の条件のみが必要であることを証明した。それにもかかわらず真のブレイクスルーは条件を見つけた Nathan Jacobson の仕事である。根基の概念が考えられ、それは今では半単純環の研究に必須である。
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