多元環の構造
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/11 09:31 UTC 版)
半単純多元環の構造はますます中心的である。表現の場合において、それは任意のベクトル空間上ではなく自身の上の群の線型拡大の作用に対応する。別の分野に数学は自然にこの概念の使用をもたらす。ガロワ拡大は類似の構造を置き体論はこの対象の研究を仮定する。最後に、リーによって発展された連続群は半単純多元環の構造を持った接空間を各点に付ける。20世紀の始まりにはこの主題はこの概念を研究している様々な数学者で主要になった。多元環は加群の構造もまた持っているから加群の分解の定理を適用できる。 ウィリアム・バーンサイド (en:William Burnside) はフロベニウスのアプローチを直ちにつかんだ。線型群の下にある多元環の構造の重要性は逃げなかった。彼は1897年に有限群に関する彼の参考文献の初版で最初の結果を確立した。体が代数的に閉な場合有限次元ベクトル空間の自己準同型の集合は単純多元環である。その後初等的な例が解明された。 レオナード・ディクソン (Leonard Dickson) は1896年に任意の有限体上の線型群としてのガロワ群を PhD の論文を書いてしたがってジョルダンの結果を一般化した。彼はすべての有限可換体は素体のガロワ拡大であることを証明した。それはヨーロッパで1901年に出版される。基底の構造は半単純多元環の構造である。ガロワのアプローチは可換体の研究しか許さないが、半単純多元環は非可換体の研究も許す。ディクソンは体の一般論を発達させ、非可換体のたくさんの例を見つけた。この時期から 2 つの理論：ガロワ理論と体論の分離が始まった。 エリ・カルタン (Élie Cartan) は彼が1894年に支えた彼の学位論文のリー代数に興味を持った。複素数体上単純および半単純多元環の構造はすべてそこで扱われている。ジョセフ・ウェダーバーン (Joseph Wedderburn) とともに彼はこの多元環の一般的な構造を研究した。カルタンは複素数の場合に対して半単純多元環の構造を明らかにした。1907年ウェダーバーンはたぶん最も有名な彼の論文を出版した。彼はカルタンの結果を現在超複素数と呼ばれる任意の体上の多元環に一般化した。この一般化は重要である、なぜならば以前に引用された応用のすべての例は斜体を用いていたからだ。
※この「多元環の構造」の解説は、「半単純環」の解説の一部です。
「多元環の構造」を含む「半単純環」の記事については、「半単純環」の概要を参照ください。
- 多元環の構造のページへのリンク
