多元環の直和
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/07 03:48 UTC 版)
多元環 X と Y の直和とは、ベクトル空間の直和に積を ( x 1 + y 1 ) ( x 2 + y 2 ) = ( x 1 x 2 + y 1 y 2 ) {\displaystyle (x_{1}+y_{1})(x_{2}+y_{2})=(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})} で入れたものをいう。これらの古典的な例を考えよう： R ⊕ R {\displaystyle \mathbb {R\oplus R} } は分解型複素数に環同型であり、区間算術（英語版）においても使われる。 C ⊕ C {\displaystyle \mathbb {C\oplus C} } は 1848 年にジェームズ・コックル（英語版）によって導入されたテッサリンの多元環である。 H ⊕ H {\displaystyle \mathbb {H\oplus H} } は、分解型双四元数（英語版）と呼ばれ、1873 年にクリフォード（英語版）によって導入された。 ジョゼフ・ウェダーバーン（英語版）は、自身の超複素数の分類において、多元環の直和の概念を利用した (Wedderburn, Lectures on Matrices (1934), page 151)。ウェダーバーンは多元環の直和と直積の違いを以下のように明らかにしている。すなわち、直和に対して係数体は両方の成分に同時に作用する ( λ ( x ⊕ y ) = λ x ⊕ λ y {\displaystyle \lambda (x\oplus y)=\lambda x\oplus \lambda y} ) が、一方で直積に対しては両方ではなく一方のみがスカラー倍される ( λ ( x , y ) = ( λ x , y ) = ( x , λ y ) {\displaystyle \lambda (x,y)=(\lambda x,y)=(x,\lambda y)} ). Ian R. Porteous は上記の直和三つをそれぞれ 2 R , 2 C , 2 H {\displaystyle {}^{2\!}{\boldsymbol {R}},\,{}^{2\!}{\boldsymbol {C}},\,{}^{2\!}{\boldsymbol {H}}} と書いて、自身の Clifford Algebras and the Classical Groups (1995) で係数体として用いた。 注意 上記の構成は、ウェダーバーンの用いた直和と直積の語法に従ったものだが、これは圏論で用いる直和と直積の慣習とは異なる。圏論的な用語では、ウェダーバーンの意味での直和は圏論的直積であり、一方ウェダーバーンの意味での直積は余積（圏論的直和）である（実はこれは（可換多元環に対して）多元環のテンソル積に対応する）。
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