多元数を使った拡張
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/12 07:28 UTC 版)
3次元のクロス積 ( a 1 , a 2 , a 3 ) × ( b 1 , b 2 , b 3 ) = ( a 2 b 3 − a 3 b 2 , a 3 b 1 − a 1 b 3 , a 1 b 2 − a 2 b 1 ) {\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3})\times (b_{1},b_{2},b_{3})=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3},a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})} は、4元数（ a + b i + c j + d k {\displaystyle a+bi+cj+dk} ）のベクトル成分（ b i + c j + d k {\displaystyle bi+cj+dk} の部分）の乗算 ( a 1 i + a 2 j + a 3 k ) ( b 1 i + b 2 j + b 3 k ) = − ( a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 ) + ( a 2 b 3 − a 3 b 2 ) i + ( a 3 b 1 − a 1 b 3 ) j + ( a 1 b 2 − a 2 b 1 ) k {\displaystyle (a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k)(b_{1}i+b_{2}j+b_{3}k)=-(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3})+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})i+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})j+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})k\,} のベクトル成分で定義できる。ちなみに、スカラー成分を符号反転した a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 {\displaystyle a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}} は内積になっている。 3次元のクロス積はハミルトンの4元数の概念をもとにして、ウィラード・ギブズとオリヴァー・ヘヴィサイドがそれぞれ独立に、ドット積と対になる数学的概念として考案した。 これを多元数に拡張すると、n + 1 元数の乗算から n 次元でのクロス積を定義できる。つまり、実数（1元数）、複素数（2元数）、4元数、8元数の乗算から、0次元、1次元、3次元、7次元でのクロス積が定義できる（要素数が多くなるため縦ベクトルで表す）。 ( ) × ( ) = ( ) ( a 1 ) × ( b 1 ) = ( 0 ) ( a 1 a 2 a 3 ) × ( b 1 b 2 b 3 ) = ( a 2 b 3 − a 3 b 2 a 3 b 1 − a 1 b 3 a 1 b 2 − a 2 b 1 ) ( a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 ) × ( b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 7 ) = ( a 2 b 3 − a 3 b 2 − a 4 b 5 + a 5 b 4 − a 6 b 7 + a 7 b 6 − a 1 b 3 + a 3 b 1 − a 4 b 6 + a 5 b 7 + a 6 b 4 − a 7 b 5 a 1 b 2 − a 2 b 1 − a 4 b 7 − a 5 b 6 + a 6 b 5 + a 7 b 4 a 1 b 5 + a 2 b 6 + a 3 b 7 − a 5 b 1 − a 6 b 2 − a 7 b 3 − a 1 b 4 − a 2 b 7 + a 3 b 6 + a 4 b 1 − a 6 b 3 + a 7 b 2 a 1 b 7 − a 2 b 4 − a 3 b 5 + a 4 b 2 + a 5 b 3 − a 7 b 1 − a 1 b 6 + a 2 b 5 − a 3 b 4 + a 4 b 3 − a 5 b 2 + a 6 b 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&()\times ()=()\\&(a_{1})\times (b_{1})=(0)\\&{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{pmatrix}}\\&{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\\a_{5}\\a_{6}\\a_{7}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\b_{4}\\b_{5}\\b_{6}\\b_{7}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}-a_{4}b_{5}+a_{5}b_{4}-a_{6}b_{7}+a_{7}b_{6}\\-a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}-a_{4}b_{6}+a_{5}b_{7}+a_{6}b_{4}-a_{7}b_{5}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}-a_{4}b_{7}-a_{5}b_{6}+a_{6}b_{5}+a_{7}b_{4}\\a_{1}b_{5}+a_{2}b_{6}+a_{3}b_{7}-a_{5}b_{1}-a_{6}b_{2}-a_{7}b_{3}\\-a_{1}b_{4}-a_{2}b_{7}+a_{3}b_{6}+a_{4}b_{1}-a_{6}b_{3}+a_{7}b_{2}\\a_{1}b_{7}-a_{2}b_{4}-a_{3}b_{5}+a_{4}b_{2}+a_{5}b_{3}-a_{7}b_{1}\\-a_{1}b_{6}+a_{2}b_{5}-a_{3}b_{4}+a_{4}b_{3}-a_{5}b_{2}+a_{6}b_{1}\end{pmatrix}}\end{aligned}}} これら以外の次元では、必要な対称性を持つ乗算が定義できないため（これはアドルフ・フルヴィッツによって証明された）、クロス積は定義できない。また、0次元では自明なことを確認できるにすぎず、1次元のクロス積は常に零ベクトルである。
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