線型群とは? わかりやすく解説

Weblio 辞書 > 辞書・百科事典 > 百科事典 > 線型群の意味・解説 

行列群

(線型群 から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/06/15 06:33 UTC 版)

数学において、行列群 (matrix group) は(通常は前もって固定される)ある K上の n可逆行列からなる G で、行列の積と逆の演算をもつ。より一般に、可換 R 上の n 次可逆行列を考えることができる。(行列のサイズは有限に制限されていることに注意。なぜならば任意の群は任意の体上の無限行列の群として表現することができるからだ。)線型群 (linear group) は体 K 上の行列群に同型な抽象群である、言い換えれば、K 上の忠実な有限次元表現を持つ。

任意の有限群は線型である。これはケイリーの定理英語版を使って置換行列により実現できることによる。無限群英語版の中で、線型群は面白く扱いやすいクラスをなす。線型でない群の例はすべての「十分大きい」群を含む(例:無限集合の置換からなる無限対称群)。

基本的な例

可換環 R 上の n 次正方行列全体の集合 Mn(R) はそれ自身行列の加法と乗法の下で環である。Mn(R) の単元群は環 R 上の一般線型群と呼ばれ、GLn(R) あるいは GL(n, R) と表記される。すべての行列群は一般線型群の部分群である。

古典群

とりわけ面白い行列群はいわゆる古典群英語版である。行列群の基礎環が実数のとき、これらの群は古典リー群英語版である。基礎環が有限体であるとき古典群はリー型の群英語版である。これらの群は有限単純群の分類において重要な役割を果たす。

行列群としての有限群

すべての有限群はある行列群と同型である。これはすべての有限群はある置換群と同型であると述べるケイリーの定理英語版と似ている。同型の性質は推移的であるので、置換群から行列群をどのように構成するかを考えるだけでよい。

Gn 点 (Ω = {1, 2, …, n}) 上の置換群とし {g1, …, gk} を G の生成集合とする。複素数体上の一般線型群 GLn(C) は自然にベクトル空間 Cn に作用する。B = {b1, …, bn} を Cn の標準基底とする。各 gi に対して MiGLn(C) を各 bjbgi(j) に送る行列とする。つまり、置換 gi が点 jk に送るならば、Mi は基底ベクトル bjbk に送る。M を {M1, …, Mk} で生成される GLn(C) の部分群とする。すると G の Ω 上の作用はちょうど MB 上の作用と同じである。各 giMi に送る対応は同型に拡張され、したがってすべての群は行列群に同型であることが証明できる。

M は成分が 0 か 1 の行列しか含まないので体(上の場合 C)は無関係であることに注意しよう。0 と 1 はすべての体に存在するので任意の体に対して同じ構成をができる。

例として、G = S3、3点上の対称群とする。g1 = (1, 2, 3) と g2 = (1, 2) とする。このとき




英和和英テキスト翻訳>> Weblio翻訳
英語⇒日本語日本語⇒英語
  

辞書ショートカット

すべての辞書の索引

「線型群」の関連用語

線型群のお隣キーワード
検索ランキング

   

英語⇒日本語
日本語⇒英語
   



線型群のページの著作権
Weblio 辞書 情報提供元は 参加元一覧 にて確認できます。

   
ウィキペディアウィキペディア
All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License.
この記事は、ウィキペディアの行列群 (改訂履歴)の記事を複製、再配布したものにあたり、GNU Free Documentation Licenseというライセンスの下で提供されています。 Weblio辞書に掲載されているウィキペディアの記事も、全てGNU Free Documentation Licenseの元に提供されております。

©2025 GRAS Group, Inc.RSS