非可換体とは？わかりやすく解説

斜体（しゃたい、英: skew field; 歪体, 独: Schiefkörper, 仏: corps, corps gauche）は加減乗除が可能な代数系である^[1]^{[注 1]}。除法の可能な環であるという意味で可除環（かじょかん、division ring, Divisionsring）ともいう^[3]。係数環を持ち、多元環の構造を持つことを強調する場合は、特に多元体^[4]（たげんたい、division algebra, algèbre à division; 可除多元環）と呼称することも多い^{[注 2]}。非可換な積を持つ体を非可換体（ひかかんたい、non-commutative field, corps non commutatif）という^[2]。

定義

「体 (数学)」も参照

斜体とは、以下の条件を満たす加法と乗法と呼ばれる 2 つの二項演算によって定まる代数的構造のことである。以下、台集合 K に加法 "+" と乗法 "×" が定められているとし、乗法の結果（積） a × b は ab と略記する。

K は加法に関してアーベル群である：
- a, b, c を K の任意の元とするとき、結合法則 a + (b + c) = (a + b) + c が成り立つ。
- a + 0_K = 0_K + a = a が K の元 a の取り方に依らずに満たされる零元と呼ばれる特別な元 0_K が存在する。
- a が K の元ならばそれに対して a + (−a) = (−a) + a = 0_K を満たす、マイナス元と呼ばれる元 −a が常に存在する。
- 交換法則が成り立つ。つまり K のどんな元 a, b についても、 a + b = b + a となる。
K は乗法に関してモノイドであって、0 以外の元が群をなす：
- a, b, c を K の任意の元とするとき、結合法則 a(bc) = (ab)c が成り立つ。
- a1_K = 1_Ka = a が K の零元 0_K でない元 a の取り方に依らずに満たされる単位元と呼ばれる特別な元 1_K が存在する。
- a が零元 0_K でない K の元ならばそれに対して aa⁻¹ = a⁻¹a = 1_K を満たす、逆元と呼ばれる元 a⁻¹ が常に存在する。
乗法は加法に対して分配的である： a, b, c を K の任意の元とするとき、a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc が成り立つ。

また、この条件を満たす代数的構造を備えた代数系 (K, +, 0_K, ×, 1_K) あるいは省略して単に集合 K は「斜体を成す」という。零元のみからなる集合 {0} は 1 = 0 と見れば上記の条件を満たし、自明な体と呼ばれるが往々理論的な障害となるため通常は除外して考える。つまり、体の定義に通常は

1 ≠ 0, すなわち乗法は零元でない単位元を持つ。

なる条件を加える。さらにもう一つ、乗法の可換性に関する条件

K のどんな元 a, b についても、 ab = ba が満たされる。

を加えるとき K を（可換）体と呼び、可換性が満たされない元を K が持つとき非可換体と呼ぶ。また一つの代数系 K に対してではなく、代数的構造の分類としてもこれらの用語を用いる。分類としての明確化のために、可換体・非可換体の両者をあわせて「必ずしも可換でない体」という用語を用いることがある。

上記の条件を非自明な単位的非可換環 $K$ に対して

可除性: x が零元でないならば、その乗法逆元 $x -1 \in K$ が存在する。

を条件として課したものと見るとき、しばしば可除環とも呼ばれる。

斜体の概念は、いくつかの立場から捉えられ用いられるため、それぞれの属する文脈でとくに積の結合性を要求するか否かなどについて差異が認められる。たとえば非可換な体、あるいは可除な単位的（結合）環を相手にする文脈では結合的なものに限ることが多く、非結合的（分配的）多元環で可除なものとする立場からは非結合的（分配的）斜体が範疇に含まれうる。とくに非結合的斜体を認める立場からはアーサー・ケイリーの八元数の全体が成す非結合的分配環も斜体として扱うことができるため、八元数体という呼称が用いられることがある。

性質・諸概念

逆元の存在から、斜体 D の零でない任意の左イデアルIl・右イデアルIr・両側イデアルI は D の単位元 1_D を含まねばならず、それゆえIl、Ir、 I は D 全体に一致せねばならない。逆に、左イデアル（もしくは右イデアル）が零か全体にかぎるような単位的（結合）環は斜体となる。斜体は自明でない両側イデアルを持たぬゆえ単純であり、特に可換単純環は常に可換体を成すが、一般に単純環であって斜体とならぬものが存在する。（例：斜体上の行列環）