更なる一般化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/02 23:12 UTC 版)
一次方程式の理論は係数や解を（実数や複素数のような数に限らず）一般の（非可換）体としてもそのまま成り立つ。特に、係数が（非可換）体 K であるような一次方程式が拡大体 L/K で解を持つならば、既に K において解を持ち、K における一般解がそのまま L における一般解になる。 「線型方程式系」も参照 A が行列、x がベクトル値の変数、b を定ベクトルとするとき、一次方程式 A x = b {\displaystyle Ax=b} は A が正則ならば解くことができて x = A−1b となる。 より一般に、集合 X に作用素の集合 T が与えられているとき、X-値の変数 x に対して作用 τ ∈ T および定元 b ∈ X を与えれば、方程式 τ x = b {\displaystyle \tau x=b} は意味を持ち、τ の逆作用素 τ−1が存在すれば x = τ−1b となる。特に T が群 G で X がG-加群 M のとき、 g x + b = 0 ( g ∈ G , b ∈ M ) {\displaystyle gx+b=0\quad (g\in G,b\in M)} なども意味を持つ。
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更なる一般化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/11/15 16:56 UTC 版)
半環の定義において加法の可換性も右分配律もともに仮定から落とすならば近環 (near-ring) の概念が得られる。先に挙げた意味での基数全体が半環を成すのとまったく同様の意味で、順序数の全体は近環を成す。 圏論において半環圏（英語版）（半環的 2-圏、2-rig）は、半環演算と類似対応する函手演算を備えた圏である。「基数全体が半環を成す」ことを圏化して「集合の圏（あるいはより一般に任意のトポス）が半環圏を成す」ことが述べられる。
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