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初等的な例

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/04/20 00:40 UTC 版)

「多重根号」の記事における「初等的な例」の解説

特定のクラスの多重根号は初等的な計算に基づいて根号を外すことができる。以下の左辺の形をした二重根号の式が、右辺のように二つの平方根の和に分解できる条件を調べよう。すなわち、以下の等式 a ± b c = d ± e {\displaystyle {\sqrt {a\pm b{\sqrt {c}}\ }}={\sqrt {d}}\pm {\sqrt {e}}} （ただし、 c {\displaystyle c} は平方数でない）が成り立つと仮定する。両辺を自乗した a ± b c = ( d + e ) ± 2 d e {\displaystyle a\pm b{\sqrt {c}}=(d+e)\pm 2{\sqrt {de}}} に対し、両辺の係数比較（英語版）（両辺の有理成分同士、無理成分同士がそれぞれを等しいとおく）によって、問題は「和が a {\displaystyle a} に等しく、積が b 2 c 4 {\displaystyle {\frac {b^{2}c}{4}}} に等しい二数 d , e {\displaystyle d,e} を求めること」に帰着される。これは根と係数の関係により、特定の二次方程式を解く問題として解決することができる。証明上記の記述より、 d + e = a , d e = b 2 c 4 {\displaystyle d+e=a,de={\frac {b^{2}c}{4}}} の関係式が得られる。解と係数の関係から、 d , e {\displaystyle d,e} は t {\displaystyle t} についての二次方程式 t 2 − a t + b 2 c 4 = 0 {\displaystyle t^{2}-at+{\frac {b^{2}c}{4}}=0} の解である。これを解いて、 t = a ± a 2 − b 2 c 2 {\displaystyle t={\frac {a\pm {\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}}{2}}} を得る。あるいは以下のようにしても同様の結果が得られる。証明有理成分の比較 a = d + e {\displaystyle a=d+e} から、 d = a − e {\displaystyle d=a-e} または e = a − d {\displaystyle e=a-d} を得る。また、無理成分の比較 b c = 2 d e {\displaystyle b{\sqrt {c}}=2{\sqrt {de}}} から、両辺自乗して先の式を代入すれば b 2 c = 4 d ( a − d ) = 4 a d − 4 d 2 {\displaystyle b^{2}c=4d(a-d)=4ad-4d^{2}} となり、整理すれば二次方程式 4 d 2 − 4 a d + b 2 c = 0 , {\displaystyle 4d^{2}-4ad +b^{2}c=0,} を得る。これを解いて d = a ± a 2 − b 2 c 2 {\displaystyle d={\frac {a\pm {\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}}{2}}} a = d + e ゆえ、二つの解 d, e は互いに代数共役（英語版）であるから、 d = a + a 2 − b 2 c 2 {\displaystyle d={\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}}{2}}} e = a − a 2 − b 2 c 2 {\displaystyle e={\frac {a-{\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}}{2}}} と決まる。このやり方で a + b c {\displaystyle {\sqrt {a+b{\sqrt {c}}\ }}} の形の多重根式を一重化できるための必要十分条件は a 2 − b 2 c {\displaystyle {\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}} が有理数となること、すなわち a 2 − b 2 c {\displaystyle a^{2}-b^{2}c} が平方数となることである（そのとき、多重根式の一重化は上で見た通りの二つの平方根の和になる）。例1 3 + 2 2 {\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}} a = 3 , b = c = 2 {\displaystyle a=3,b=c=2} であるから、 a 2 − b 2 c = 3 2 − 2 2 ⋅ 2 = 1 {\displaystyle a^{2}-b^{2}c=3^{2}-2^{2}\cdot 2=1} は平方数となる。したがって、 d = 3 + 1 2 = 2 , e = 3 − 1 2 = 1 {\displaystyle d={\frac {3+1}{2}}=2,e={\frac {3-1}{2}}=1} となるから、 3 + 2 2 = 1 + 2 {\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}} 例2 6 + 35 {\displaystyle {\sqrt {6+{\sqrt {35}}}}} a = 6 , b = 1 , c = 35 {\displaystyle a=6,b=1,c=35} であるから、 a 2 − b 2 c = 6 2 − 1 2 ⋅ 35 = 1 {\displaystyle a^{2}-b^{2}c=6^{2}-1^{2}\cdot 35=1} は平方数となる。したがって、 d = 6 + 1 2 = 7 2 , e = 6 − 1 2 = 5 2 {\displaystyle d={\frac {6+1}{2}}={\frac {7}{2}},e={\frac {6-1}{2}}={\frac {5}{2}}} となるから、 6 + 35 = 7 2 + 5 2 = 14 + 10 2 {\displaystyle {\sqrt {6+{\sqrt {35}}}}={\sqrt {\frac {7}{2}}}+{\sqrt {\frac {5}{2}}}={\frac {{\sqrt {14}}+{\sqrt {10}}}{2}}} また、一般的には以下の等式が成り立つ。 a > 0 , b > 0 {\displaystyle a>0,b>0} のとき ( a + b ) + 2 a b = ( a + b ) 2 = a + b {\displaystyle {\sqrt {(a+b)+2{\sqrt {ab}}}}={\sqrt {({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})^{2}}}={\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}} a > b > 0 {\displaystyle a>b>0} のとき ( a + b ) − 2 a b = ( a − b ) 2 = a − b {\displaystyle {\sqrt {(a+b)-2{\sqrt {ab}}}}={\sqrt {({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}})^{2}}}={\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}} 場合によっては、多重根式の一重化に高次の冪根が必要となる。例えば、 4 + 3 2 = ( 2 + 2 2 ) + 2 2 ⋅ 2 2 = ( 2 4 + 8 4 ) 2 = 2 4 + 8 4 {\displaystyle {\sqrt {4+3{\sqrt {2}}}}={\sqrt {({\sqrt {2}}+2{\sqrt {2}})+2{\sqrt {{\sqrt {2}}\cdot 2{\sqrt {2}}}}}}={\sqrt {({\sqrt[{4}]{2}}+{\sqrt[{4}]{8}})^{2}}}={\sqrt[{4}]{2}}+{\sqrt[{4}]{8}}} と強引に根号が外れる形にする必要がある。他には、 3 + 2 3 = 1 2 ( 12 4 + 108 4 ) {\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {3}}}}={\frac {1}{2}}({\sqrt[{4}]{12}}+{\sqrt[{4}]{108}})} 10 + 7 2 3 = 2 6 + 4 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{10 +7{\sqrt {2}}}}={\sqrt[{6}]{2}}+{\sqrt[{3}]{4}}} 5 + 3 3 3 = 1 2 ( 4 3 + 432 6 ) {\displaystyle {\sqrt[{3}]{5+3{\sqrt {3}}}}={\frac {1}{2}}({\sqrt[{3}]{4}}+{\sqrt[{6}]{432}})}