初等的な導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/19 22:01 UTC 版)
スターリングの公式の厳密な証明にはオイラーの和公式、あるいは鞍点法といった複素解析の技法などを用いられることが多いが、初等的に導くことも可能である。まず階乗の対数を積分で近似する。logが凹関数であることから k-1<x<k (k=2,3,...) に対して log k − ( k − x ) { log k − log ( k − 1 ) } < log x < log k − 1 k ( k − x ) {\displaystyle \log k-(k-x)\{\log k-\log(k-1)\}\;<\;\log x\;<\;\log k-{\frac {1}{k}}(k-x)} これを k-1 から k まで積分して log k − 1 2 { log k − log ( k − 1 ) } < ∫ k − 1 k log x d x < log k − 1 2 k ∫ k − 1 k log x d x + 1 2 k < log k < ∫ k − 1 k log x d x + 1 2 { log k − log ( k − 1 ) } {\displaystyle {\begin{aligned}&\log k-{\frac {1}{2}}\{\log k-\log(k-1)\}\;<\;\int _{k-1}^{k}\log x\,dx\;<\;\log k-{\frac {1}{2k}}\\&\int _{k-1}^{k}\log x\,dx+{\frac {1}{2k}}\;<\;\log k\;<\;\int _{k-1}^{k}\log x\,dx+{\frac {1}{2}}\{\log k-\log(k-1)\}\end{aligned}}} k=m+1,m+2,...,n に対して足し合わせると log n ! m ! = ∑ k = m + 1 n log k > ∫ m n log x d x + ∑ k = m + 1 n 1 2 k > ∫ m n log x d x + 1 2 n − 1 2 m + ∫ m n 1 2 x d x = ( n + 1 / 2 ) log n − n + 1 / ( 2 n ) − ( m + 1 / 2 ) log m + m − 1 / ( 2 m ) log n ! m ! = ∑ k = m + 1 n log k < ∫ m n log x d x + 1 2 { log n − log m } = ( n + 1 / 2 ) log n − n − ( m + 1 / 2 ) log m + m {\displaystyle {\begin{aligned}\log {\frac {n!}{m!}}&=\sum _{k=m+1}^{n}\log k\\&>\int _{m}^{n}\log x\,dx+\sum _{k=m+1}^{n}{\frac {1}{2k}}\\&>\int _{m}^{n}\log x\,dx+{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{2m}}+\int _{m}^{n}{\frac {1}{2x}}\,dx\\&=(n+1/2)\log n-n+1/(2n)-(m+1/2)\log m+m-1/(2m)\\\log {\frac {n!}{m!}}&=\sum _{k=m+1}^{n}\log k\\&<\int _{m}^{n}\log x\,dx+{\frac {1}{2}}\{\log n-\log m\}\\&=(n+1/2)\log n-n-(m+1/2)\log m+m\end{aligned}}} n n + 1 / 2 e − n + 1 / ( 2 n ) m m + 1 / 2 e − m + 1 / ( 2 m ) < n ! m ! < n n + 1 / 2 e − n m m + 1 / 2 e − m {\displaystyle {\frac {n^{n+1/2}e^{-n+1/(2n)}}{m^{m+1/2}e^{-m+1/(2m)}}}<{\frac {n!}{m!}}<{\frac {n^{n+1/2}e^{-n}}{m^{m+1/2}e^{-m}}}} ここで a n = n ! n n + 1 / 2 e − n {\displaystyle \;a_{n}={\frac {n!}{n^{n+1/2}e^{-n}}}\;} と定めると e 1 / ( 2 n ) e 1 / ( 2 m ) < a n a m < 1 {\displaystyle {\frac {e^{1/(2n)}}{e^{1/(2m)}}}<{\frac {a_{n}}{a_{m}}}<1} m,n→∞のとき最左辺は1に収束するから、特に n=2m のとき lim m → ∞ a 2 m a m = 1 {\displaystyle \lim _{m\to \infty }{\frac {a_{2m}}{a_{m}}}=1} これとウォリスの公式の系 lim n → ∞ 4 n ( n ! ) 2 n ( 2 n ) ! = π {\displaystyle \;\lim _{n\to \infty }{\frac {4^{n}(n!)^{2}}{{\sqrt {n}}(2n)!}}={\sqrt {\pi }}\;} と比較すると、 4 n ( n ! ) 2 n ( 2 n ) ! = 4 n ( a n n n + 1 / 2 e − n ) 2 n a 2 n ( 2 n ) 2 n + 1 / 2 e − 2 n = a n 2 2 a 2 n {\displaystyle {\frac {4^{n}(n!)^{2}}{{\sqrt {n}}(2n)!}}={\frac {4^{n}(a_{n}n^{n+1/2}e^{-n})^{2}}{{\sqrt {n}}a_{2n}(2n)^{2n+1/2}e^{-2n}}}={\frac {a_{n}^{2}}{{\sqrt {2}}a_{2n}}}} lim n → ∞ a n = lim n → ∞ 4 n ( n ! ) 2 n ( 2 n ) ! 2 a 2 n a n = 2 π {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {4^{n}(n!)^{2}}{{\sqrt {n}}(2n)!}}{\frac {{\sqrt {2}}a_{2n}}{a_{n}}}={\sqrt {2\pi }}} を得る。
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初等的な導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/07 06:34 UTC 版)
錐体の体積公式を知っているが積分計算は知らない場合（日本の多くの小中学生はそうである）、体積を求めるには、円錐から小円錐を取り除いたと考えればよい。ここで、一般の錐台の体積公式を求めておく。上底面、下底面の面積をそれぞれ S1, S2, 高さを h とする。もとの大きな錐体の高さ H は S 1 S 2 = H − h H {\displaystyle {\frac {\sqrt {S_{1}}}{\sqrt {S_{2}}}}={\frac {H-h}{H}}} を満たす。これを H について解くと、 H = S 2 h S 2 − S 1 {\displaystyle H={\frac {{\sqrt {S_{2}}}h}{{\sqrt {S_{2}}}-{\sqrt {S_{1}}}}}} となる。錐台の体積 V は V = 1 3 S 2 H − 1 3 S 1 ( H − h ) {\displaystyle V={\frac {1}{3}}S_{2}H-{\frac {1}{3}}S_{1}(H-h)} であるから、先ほどの H を代入して整理すると V = h 3 ( S 1 + S 1 S 2 + S 2 ) {\displaystyle V={\frac {h}{3}}{\Bigl (}S_{1}+{\sqrt {S_{1}S_{2}}}+S_{2}{\Bigr )}} となる。 これにより、上底面の半径 r1, 下底面の半径 r2, 高さ h の円錐台の体積 V は V = π h 3 ( r 1 2 + r 1 r 2 + r 2 2 ) {\displaystyle V={\frac {\pi h}{3}}({r_{1}}^{2}+r_{1}r_{2}+{r_{2}}^{2})} となる。
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