初等的な場合の例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/05 23:40 UTC 版)
大小二つのサイコロを投げて大きいほうのサイコロの目を X、小さいほうのサイコロの目を Y としよう。条件付き期待値を計算したい確率変数を2つのサイコロの目の積 XY とし、Y = 3 という情報が分かっているとする。このとき、ありうる可能性は (X, Y) = {(1,3), (2,3), (3,3), (4,3), (5,3), (6,3)} の6通りであり、それぞれ確率 .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/6 なので E [ X Y ∣ Y = 3 ] = 1 ⋅ 3 ⋅ 1 6 + ⋯ + 6 ⋅ 3 ⋅ 1 6 = 21 2 {\displaystyle \operatorname {E} [XY\mid Y=3]=1\cdot 3\cdot {\frac {1}{6}}+\cdots +6\cdot 3\cdot {\frac {1}{6}}={\frac {21}{2}}} となる。同様に Y = y が分かっているとすると E [ X Y ∣ Y = y ] = 21 y 6 {\displaystyle \operatorname {E} [XY\mid Y=y]={\frac {21y}{6}}} というのが分かるが、これを E [ X Y ∣ Y ] = 21 Y 6 {\displaystyle \operatorname {E} [XY\mid Y]={\frac {21Y}{6}}} と書くと、「Y の値が決まったときの XY の期待値は 21 Y / 6 である。」と自然に読むことができる。このようなことは一般の確率変数の組 X と Y が与えられた場合にもいえることで、関数 f をうまく見つけてきて E [ X ∣ Y ] = f ( Y ) {\displaystyle E[X\mid Y]=f(Y)} とすることができる。
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