初等的な評価
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/07 10:00 UTC 版)
一方、初等的な方法により ϑ ( n ) < 2 n ln 2 {\displaystyle \vartheta (n)<2n\ln 2} for n = 1 , 2 , … {\displaystyle n=1,2,\ldots } となることを証明することができる。 n = 1 {\displaystyle n=1} のとき、 ϑ ( n ) = 0 < 2 ln 2. {\displaystyle \vartheta (n)=0<2\ln 2.} n = 2 {\displaystyle n=2} のとき、 ϑ ( n ) = ln 2 < 4 ln 2. {\displaystyle \vartheta (n)=\ln 2<4\ln 2.} ここで、 n が m -1 以下の整数のとき、上記の不等式が正しいと仮定する。 m > 2 {\displaystyle m>2} が偶数とする。 ϑ ( m ) = ϑ ( m − 1 ) < 2 ( m − 1 ) ln 2 < 2 m ln 2. {\displaystyle \vartheta (m)=\vartheta (m-1)<2(m-1)\ln 2<2m\ln 2.} m > 2 {\displaystyle m>2} が奇数とする。 m = 2 l + 1 {\displaystyle m=2l+1} とおくと二項定理より ( 2 l + 1 l ) = 1 2 [ ( 2 l + 1 l ) + ( 2 l + 1 l + 1 ) ] < 1 2 ∑ k = 0 2 l + 1 ( 2 l + 1 k ) = 1 2 ( 1 + 1 ) 2 l + 1 = 4 l {\displaystyle {\binom {2l+1}{l}}={\frac {1}{2}}\left[{\binom {2l+1}{l}}+{\binom {2l+1}{l+1}}\right]<{\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{2l+1}{\binom {2l+1}{k}}={\frac {1}{2}}(1+1)^{2l+1}=4^{l}} が成り立つ。 l + 1 < p ≤ 2 l + 1 {\displaystyle l+1<p\leq 2l+1} となる素数 p はすべて ( 2 l + 1 l ) {\displaystyle \textstyle {\binom {2l+1}{l}}} を割り切るので、 ϑ ( 2 l + 1 ) − ϑ ( l + 1 ) = ∑ l + 1 < p ≤ 2 l + 1 ln p ≤ ln ( 2 l + 1 l ) < 2 l ln 2. {\displaystyle \vartheta (2l+1)-\vartheta (l+1)=\sum _{l+1<p\leq 2l+1}\ln p\leq \ln {\binom {2l+1}{l}}<2l\ln 2.} よって ϑ ( 2 l + 1 ) < 2 l ln 2 + ϑ ( l + 1 ) < 2 l ln 2 + 2 ( l + 1 ) ln 2 = 2 ( 2 l + 1 ) ln 2. {\displaystyle \vartheta (2l+1)<2l\ln 2+\vartheta (l+1)<2l\ln 2+2(l+1)\ln 2=2(2l+1)\ln 2.} 以上より、数学的帰納法により上記の不等式が正しいことが証明された。 この議論はベルトラン＝チェビシェフの定理やメルテンスの定理といった、素数に関する評価を初等的に証明する上でも重要な役割を果たす。
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