初等的な説明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/25 06:53 UTC 版)
「オイラーの分割恒等式」の記事における「初等的な説明」の解説
例として 8 を分割することを考える。ここで P を「異なる数による分割」に現れる一つの偶数をその半分の二つの整数の和にする変換、U を「奇数のみの分割」に現れる同じ二つの整数を一つの偶数にする変換とすると 1 + ( 2 ) + 5 → P 1 + [ 1 + 1 ] + 5 → U 1 + 2 + 5 {\displaystyle 1+(2)+5{\xrightarrow {\quad P\quad }}1+[1+1]+5{\xrightarrow {\quad U\quad }}1+2+5} 1 + 3 + ( 4 ) → P 1 + [ ( 2 ) + ( 2 ) ] + 3 → P 1 + [ 1 + 1 ] + [ 1 + 1 ] + 3 → U 1 + ( ( 2 ) + ( 2 ) ) + 3 → U 1 + 3 + 4 {\displaystyle 1+3+(4){\xrightarrow {\quad P\quad }}1+[(2)+(2)]+3{\xrightarrow {\quad P\quad }}1+[1+1]+[1+1]+3{\xrightarrow {\quad U\quad }}1+((2)+(2))+3{\xrightarrow {\quad U\quad }}1+3+4} 1 + 7 → I 1 + 7 {\displaystyle 1+7{\xrightarrow {\quad I\quad }}1+7} ( 2 ) + ( 6 ) → P [ 1 + 1 ] + [ 3 + 3 ] → U 2 + 6 {\displaystyle (2)+(6){\xrightarrow {\quad P\quad }}[1+1]+[3+3]{\xrightarrow {\quad U\quad }}2+6} 3 + 5 → I 3 + 5 {\displaystyle 3+5{\xrightarrow {\quad I\quad }}3+5} ( 8 ) → P [ ( 4 ) + ( 4 ) ] → P [ ( 2 ) + ( 2 ) ] + [ ( 2 ) + ( 2 ) ] → P [ 1 + 1 ] + [ 1 + 1 ] + [ 1 + 1 ] + [ 1 + 1 ] → U ( 2 + 2 ) + ( 2 + 2 ) → U ( 4 + 4 ) → U 8 {\displaystyle (8){\xrightarrow {P}}[(4)+(4)]{\xrightarrow {P}}[(2)+(2)]+[(2)+(2)]{\xrightarrow {P}}[1+1]+[1+1]+[1+1]+[1+1]{\xrightarrow {U}}(2+2)+(2+2){\xrightarrow {U}}(4+4){\xrightarrow {U}}8} このように「異なる数による分割」の方法と「奇数のみの分割」の方法との間に1対1対応がつけられる。これはPとUが互いに逆の変換であることから導かれる。したがってそれらの方法の個数は互いに等しい。ただし上記の 1+7 や 3+5 のような「異なる数による分割」と「奇数のみの分割」の両方に属するような方法は自分自身に対応づけることとする。その場合は恒等写像 I で表した。
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