バーンスタイン多項式

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バーンスタイン多項式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/10/14 06:19 UTC 版)

バーンスタイン多項式 （バーンスタインたこうしき、（英: Bernstein polynomial）はバーンスタイン基底関数の線形結合で与えられる多項式である。 バーンスタイン形式の多項式 （バーンスタインけいしきのたこうしき、（英: polynomial in Bernstein form）、ベルンシュタイン多項式とも。

概要

バーンスタイン多項式はバーンスタイン基底関数の線形結合で与えられる多項式である（⇒#定義）。n 次のバーンスタイン多項式は任意の高々 n 次の多項式を表現できるため、バーンスタイン多項式は多項式の別形式での表現であるといえる（⇒#特性）。

バーンスタイン形式の数値的に安定な手法は、ド・カステリョのアルゴリズムとして知られている。

バーンスタイン多項式はセルゲイ・ベルンシュテインが確率論を用いてワイエルシュトラスの近似定理の別証明をする際に初めて導入された（Bernstein 1912）。のちに彼の名を取ってバーンスタイン多項式と呼ばれるようになった。

コンピュータ・グラフィックスの出現により、 x ∈ [0, 1] の範囲におけるバーンスタイン多項式は、ベジェ曲線の重要な要素となった。

定義

バーンスタイン基底関数

$n$