連続関数の近似
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 13:49 UTC 版)
「バーンスタイン多項式」の記事における「連続関数の近似」の解説
[0, 1] の範囲において連続な関数 f (x) を用いたバーンスタイン多項式 B n ( f ) ( x ) = ∑ ν = 0 n f ( ν n ) b ν , n ( x ) . {\displaystyle B_{n}(f)(x)=\sum _{\nu =0}^{n}f\left({\frac {\nu }{n}}\right)b_{\nu ,n}(x).} は、[0, 1] の範囲で以下のように、一様に収束する。 lim n → ∞ B n ( f ) ( x ) = f ( x ) {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }B_{n}(f)(x)=f(x)} このことは、各点収束するが一様収束はしないという命題に比べ、より強い命題である。この一様収束は、以下のように明確に示される。 lim n → ∞ sup 0 ≤ x ≤ 1 | f ( x ) − B n ( f ) ( x ) | = 0. {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\sup _{0\leq x\leq 1}\left|f(x)-B_{n}(f)(x)\right|=0.} 上述のように、バーンスタイン多項式はストーン＝ワイエルシュトラスの定理の証明にも用いられる。 また、より一般的に、連続な k 次導関数についても、 ‖ B n ( f ) ( k ) ‖ ∞ ≤ ( n ) k n k ‖ f ( k ) ‖ ∞ and ‖ f ( k ) − B n ( f ) ( k ) ‖ ∞ → 0 , {\displaystyle \|B_{n}(f)^{(k)}\|_{\infty }\leq {(n)_{k} \over n^{k}}\|f^{(k)}\|_{\infty }{\text{ and }}\|f^{(k)}-B_{n}(f)^{(k)}\|_{\infty }\rightarrow 0,} であることが示せる。ここで ( n ) k n k = ( 1 − 0 n ) ( 1 − 1 n ) ⋯ ( 1 − k − 1 n ) {\displaystyle {(n)_{k} \over n^{k}}=\left(1-{0 \over n}\right)\left(1-{1 \over n}\right)\cdots \left(1-{k-1 \over n}\right)} は B n {\displaystyle B_{n}} の固有値である。
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