連続関数の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/06/30 22:43 UTC 版)
この方法で路に沿う積分を定義するためにはまず実変数上の複素数値関数の積分を考えなければならない。f: R → C を実変数 t の複素数値関数とする。f の実部と虚部はしばしばそれぞれ u(t) と v(t) と書かれる、つまり f ( t ) = u ( t ) + i v ( t ) {\displaystyle f(t)=u(t)+iv(t)} である。すると複素数値関数 f の区間 [a, b] 上の積分は次で与えられる： ∫ a b f ( t ) d t = ∫ a b [ u ( t ) + i v ( t ) ] d t = ∫ a b u ( t ) d t + i ∫ a b v ( t ) d t . {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(t)\,dt&=\int _{a}^{b}{\big [}u(t)+iv(t){\big ]}\,dt\\&=\int _{a}^{b}u(t)\,dt+i\int _{a}^{b}v(t)\,dt.\end{aligned}}} f: C → C を向き付けられた滑らかな曲線 γ 上の連続関数とする。z: R → C をその順序（向き）と両立する γ の任意の径数付けとする。すると γ に沿った積分は ∫ γ f ( z ) d z {\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz\,} と記され、 ∫ γ f ( z ) d z = ∫ a b f ( z ( t ) ) z ′ ( t ) d t {\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=\int _{a}^{b}f(z(t))z'(t)\,dt} によって与えられる。 この定義は well defined である。つまり、結果は選ばれた径数付けに依存しない。右辺の実積分が存在しない場合には γ に沿う積分は存在しないと言われる。
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