向き付けられた滑らかな曲線とは? わかりやすく解説

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向き付けられた滑らかな曲線

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/06/30 22:43 UTC 版)

複素線積分」の記事における「向き付けられた滑らかな曲線」の解説

積分路はしばしば向き付けられた滑らかな曲線のことばで定義される。これらは、滑らかな曲線の「断片」の正確な定義与え積分路断片からなる滑らかな曲線とは、曲線 z: [a, b] → C であって微分消えず連続で、各点一度だけ通過される(z が単射である)ものである、ただし終点始点一致する場合 (z(a) = z(b)) だけは例外である。終点始点一致するような場合には、曲線閉曲線呼ばれ関数は他のいたるところ単射なければならず、微分はその一致する点で連続なければならない (z'(a) = z'(b))。閉でない滑らかな曲線はしばし滑らかな弧と呼ばれる曲線径数付け英語版)により曲線上の点に自然な順序が入る:x < y のとき z(x) は z(y) より"小さい"。このことは向き付けられた滑らかな曲線 (directed smooth curve) の概念を導く。特定の径数付け依存しない曲線考えるのが最も有用である。このことは同じ方向を持つ滑らかな曲線同値類考えることによってなされる。すると方向をもつ滑らかな曲線は、ある滑らかな曲線の像である複素平面の点の集合に(径数付けから定まる)自然な順序をいれたものとして定義できる。点のすべての順序付け滑らかな曲線の自然な順序であるわけではないことに注意。実は、与えられ滑らかな曲線は、そのような順序付け2つしかもたないまた、ひとつの閉曲線任意の点を終点として持つことができるが、滑らかな弧の終点となるのは2点のみである。

※この「向き付けられた滑らかな曲線」の解説は、「複素線積分」の解説の一部です。
「向き付けられた滑らかな曲線」を含む「複素線積分」の記事については、「複素線積分」の概要を参照ください。

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