向き付けられた種数 g の曲面

ウィキペディア小見出し辞書

向き付けられた種数 g の曲面

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/18 23:40 UTC 版)

「ザイフェルト–ファン・カンペンの定理」の記事における「向き付けられた種数 g の曲面」の解説

より複雑な例としては種数 n の向き付け可能曲面 S の基本群（種数 n の曲面群としても知られる）の計算がある。S はその基本多角形（英語版）を使って構成できる。まず１つ目の開集合 A を決める為に、この多角形の中に収まるような円盤を取る。そして B を A の中心点の S における補集合とする。すると A と B の共通部分は円環領域となる。これは円周とホモトピー同値であり同じ基本群を持つことが知られている。よって π 1 ( A ∩ B ) = π 1 ( S 1 ) （これは整数の成す加群）であり、 π 1 ( A ) = π 1 ( D 2 ) = 1 である。すると π 1 ( A ∩ B ) から π 1 ( A ) への包含はどの生成元も自明な元に送る。しかし、 π 1 ( A ∩ B ) から π 1 ( B ) への包含は自明でない。このことを理解する為に、まず π 1 ( B ) を計算しなければならない。これは π 1 ( B ) （S から一点を除いたもの）を基本多角形の辺へと変形レトラクトすることができるから容易である。この辺は A 1 B 1 A 1 − 1 B 1 − 1 A 2 B 2 A 2 − 1 B 2 − 1 ⋯ A n B n A n − 1 B n − 1 とラベル付けられているとしよう。この（変形レトラクトされた後の）空間は 2n 個の円周の楔和（円を束ねたブーケとも呼ばれる）であることが知られており、これはさらに 2n 個の生成元を持つ自由群と同型な基本群を持つことが知られている。この場合、それらの生成元は（上でラベル付けしたところの）辺たちによって表現できる： { A 1 , B 1 , ⋯ , A n , B n } 。いまやファン・カンペンの定理を適用するに十分な情報を得た。生成元はループ { A 1 , B 1 , ⋯ , A n , B n } であり（A は単連結であるから生成元を持たないことが帰結する）、そしてちょうどひとつの関係式 A 1 B 1 A 1 − 1 B 1 − 1 A 2 B 2 A 2 − 1 B 2 − 1 ⋯ A n B n A n − 1 B n − 1 = 1 がある。この生成元と関係式とを用いて、この群は ⟨ A 1 , B 1 , ⋯ , A n , B n ∣ A 1 B 1 A 1 − 1 B 1 − 1 ⋯ A n B n A n − 1 B n − 1 ⟩ と記述できる。