向き付けられた種数 g の曲面とは? わかりやすく解説

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向き付けられた種数 g の曲面

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/10/18 23:40 UTC 版)

ザイフェルト–ファン・カンペンの定理」の記事における「向き付けられた種数 g の曲面」の解説

より複雑な例としては種数 n の向き付け可能曲面 S の基本群種数 n の曲面群としても知られる)の計算がある。S はその基本多角形英語版)を使って構成できる。まず1つ目の開集合 A を決め為に、この多角形中に収まるような円盤を取る。そして B を A の中心点の S における補集合とする。すると A と B の共通部分円環領域となる。これは円周ホモトピー同値であり同じ基本群を持つことが知られている。よって π 1 ( A ∩ B ) = π 1 ( S 1 ) {\displaystyle \pi _{1}(A\cap B)=\pi _{1}(S^{1})} (これは整数の成す加群)であり、 π 1 ( A ) = π 1 ( D 2 ) = 1 {\displaystyle \pi _{1}(A)=\pi _{1}(D^{2})={1}} である。すると π 1 ( A ∩ B ) {\displaystyle \pi _{1}(A\cap B)} から π 1 ( A ) {\displaystyle \pi _{1}(A)} への包含はどの生成元自明な元に送る。しかし、 π 1 ( A ∩ B ) {\displaystyle \pi _{1}(A\cap B)} から π 1 ( B ) {\displaystyle \pi _{1}(B)} への包含自明でない。このことを理解する為に、まず π 1 ( B ) {\displaystyle \pi _{1}(B)} を計算しなければならない。これは π 1 ( B ) {\displaystyle \pi _{1}(B)} (S から一点除いたもの)を基本多角形の辺へと変形レトラクトすることができるから容易である。この辺A 1 B 1 A 1 − 1 B 1 − 1 A 2 B 2 A 2 − 1 B 2 − 1 ⋯ A n B n A n1 B n − 1 {\displaystyle A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}} とラベル付けられているとしよう。この(変形レトラクトされた後の)空間は 2n 個の円周楔和(円を束ねたブーケとも呼ばれる)であることが知られており、これはさらに 2n 個の生成元を持つ自由群同型基本群を持つことが知られている。この場合、それらの生成元は(上でラベル付けしたところの)辺たちによって表現できる: { A 1 , B 1 , ⋯ , A n , B n } {\displaystyle \{A_{1},B_{1},\cdots ,A_{n},B_{n}\}} 。いまやファン・カンペンの定理適用する十分な情報得た生成元ループ { A 1 , B 1 , ⋯ , A n , B n } {\displaystyle \{A_{1},B_{1},\cdots ,A_{n},B_{n}\}} であり(A は単連結であるから生成元持たないことが帰結する)、そしてちょうどひとつの関係式 A 1 B 1 A 1 − 1 B 1 − 1 A 2 B 2 A 2 − 1 B 2 − 1 ⋯ A n B n A n1 B n − 1 = 1 {\displaystyle A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}=1} がある。この生成元と関係式とを用いて、この群は ⟨ A 1 , B 1 , ⋯ , A n , B nA 1 B 1 A 1 − 1 B 1 − 1 ⋯ A n B n A n1 B n − 1 ⟩ {\displaystyle \langle A_{1},B_{1},\cdots ,A_{n},B_{n}\mid A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}\rangle } と記述できる。

※この「向き付けられた種数 g の曲面」の解説は、「ザイフェルト–ファン・カンペンの定理」の解説の一部です。
「向き付けられた種数 g の曲面」を含む「ザイフェルト–ファン・カンペンの定理」の記事については、「ザイフェルト–ファン・カンペンの定理」の概要を参照ください。

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