向きを保つ変換と向きを逆にする変換とは? わかりやすく解説

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向きを保つ変換と向きを逆にする変換

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/03/19 07:05 UTC 版)

ユークリッドの運動群」の記事における「向きを保つ変換と向きを逆にする変換」の解説

運動群 E(n) は向きを保つ等長変換 (direct isometry, déplacement) 全体の成す部分群 E+(n) を持つ。これは n-次元空間における剛体を動かすものという意味で剛体運動 (rigid motions) などとも呼ばれる。この群には平行移動回転がすべて含まれ、またこれらによってこの群 E+(n) は生成されるE+(n) は特殊ユークリッド群 (special Euclidean group) SE(n) とも呼ばれる。 またこれと対照に、向き逆にする等長変換 (indirect isometries, opposite isometries) がある。E+(n) は E(n) の指数 2 の部分群であり、運動群を E+(n) で割った剰余類自明でない唯一の類は、向き逆にする変換全体一致する。即ち、任意の向き逆にする等距変換例え向き逆にする鏡映)R が一つ与えられれば、向き逆にする任意の等長変換向きを保つ適当な変換 D によって DR の形に書ける。 特殊ユークリッド群 SE(3)古典力学における剛体運動学用いられる剛体運動実質的にこのユークリッド群における曲線と同じものである物体 B が始点 t = 0 において適当な向きを持つものとし、各時刻における物体向きユークリッドの運動 f(t) に従って始点における向きから決まる(t = 0 において f(0) = I は恒等変換である)。 これはこの曲線が常に E+(3) 内にあることを意味する(実は恒等変換 I から始めるとき、このような連続曲線向きを保つ変換以外に到達することはあり得ないのである)。これは簡単な位相的理由からくるもので、これら変換行列式+1 から −1跳ぶことはなということである。 これらユークリッド群部分群位相群であるのみならずリー群成し、その議論中に解析学概念直ち持ち込むことができる。

※この「向きを保つ変換と向きを逆にする変換」の解説は、「ユークリッドの運動群」の解説の一部です。
「向きを保つ変換と向きを逆にする変換」を含む「ユークリッドの運動群」の記事については、「ユークリッドの運動群」の概要を参照ください。

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