初等的な証明
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最初に得られたチェビシェフによる証明はガンマ関数を使った高度なものであった。のちに、ポール・エルデシュが高校生のときに初等的な証明を与えた。 一松信は、エルデシュによる初等的な証明をさらに解きほぐしたものを『数研通信』70号（2011年5月）に著した。 2013年5月には、より強い評価式による証明が発表された。
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初等的な証明
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「ガウス＝ルジャンドルのアルゴリズム」の記事における「初等的な証明」の解説
ガウス＝ルジャンドルのアルゴリズムは楕円モジュラー関数を用いずに示すこともできる。初等的な積分を用いた証明が Lord (1992)、Milla (2019) によりなされている。
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