典型的な誤解とその原因とは? わかりやすく解説

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典型的な誤解とその原因

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/07/15 07:43 UTC 版)

0.999...」の記事における「典型的な誤解とその原因」の解説

数学初学者はしばし0.999… と 1 が等しいことを理解できない極限概念無限小性質日常感覚大きく異なっていることがその理由とされる。その共通の要因として次のようなものがある。 生徒は「十進数では、一つの数はただ一通り小数で表すことができるはずだ」と思い込んでいる場合が多い。表示異な2つ小数等しいことが分かると、それが逆説あるよう見える。見かけ上よく知られた数 1 の登場でその感がさらに強くなる。 "0.999…"(または同様の表現)を、多いけれども有限個数の "9" の列(おそらく可変であり特定できない長さ)として解釈する生徒もいる。たとえ生徒が "9" の無限個の列であることを受け入れたとしても、まだ最後の "9" が「無限の彼方に」あると期待しているのかもしれない直観あいまいな教え方により、生徒数列の極限を、一つ決まったではなくある種の無限操作考えるようになる。それは数列の各項はその極限達する必要はないからである。生徒数列とその極限違い受け入れても、彼らは "0.999…" を極限ではなく数列意味するものと読む可能性がある。 これらの考えは、通常の実数を扱う文脈においては誤っている。しかしながら通常異な場面で適用するために発明された、もしくは0.999…理解するのに有益な反例としての、より精巧な数の体系構造においては、それらの考え多く部分的に正しいことが示される。 これらの要因多くはデイヴィッド・トール (David Tall) 教授により発見された。教授は、自らが遭遇した大学生誤解いくつかについて、それを生徒抱かせる原因となった指導法認識特徴研究している。非常に多く生徒がなぜ最初はこの等式受け入れないのかを調べるために生徒面接して、次のようなことを発見した。 「生徒0.999… を、決まったではなく 1 に限りなく近づく数列として理解し続けようとする。その原因は『先生小数点以下の桁数がいくつあるかをはっきりと教えていなかった』という指導法欠陥、または『0.999… は 1 より小さい数の中で、存在しうる、1 に最も近い小数である』という認識である。」 初等的な証明の中で 0.333… = 1/3 の両辺を 3倍する方法は、0.999… = 1 であることを容認できない生徒受け入れさせるための、最も有効な手段あるかのように見える。しかしながら、第1の等式信じることと、第2の等式信じないことの矛盾直面すると、今度は第1の等式疑い始める者も現れるし(後述参照)、または単に不満を抱くだけの生徒もいる。これより簡潔有効な説明方法もなかなかない。厳密な定義を十分適用する能力のある生徒が、0.999…含めてさらに進んだ数学結果驚いたとしても、なお直観的な想像頼ってしまうことがある例えば、ある解析学を学ぶ生徒は 0.333… = 1/3 であることを上限の定義を用いて証明することができるが、その後もなお、昔の筆算理解基づいて 0.999… < 1 であると主張した別の生徒は、1/3 = 0.333… であることを証明することができるが、分数による証明直面して論理」が数学計算征服していると主張する。 ジョセフ・メイザー (Joseph Mazur) は別の才能豊かな微積分学生徒について語る。その生徒は「私が授業言ったことにはほとんどすべて異議を唱えるが、自分使っている計算機には決し異議唱えない」。さらに、23 の平方根計算することも含めて数学をするのに必要なのは 9程度)だと信じようになった。その生徒は 9.999… = 10 であるという極限議論に相変わらず不愉快な感じ抱いていたが、それは「乱暴な推測をする、無限概念成長過程 (wildly imagined infinite growing process)」と呼ばれる。 エド・デュビンスキー (Ed Dubinsky) による数学学習理論 (APOS theory) の一部分として、デュビンスキーとその共同研究者 (2005) は、0.999… を「1 から無限に小さい距離だけ離れている数を表す有限不確定文字列」であると思う生徒は「無限小数構成過程の完全な概念がまだ形成されていない」と述べた。たとえ 0.999…構成過程の完全な概念を身につけた生徒であっても、まだその過程を(すでに持っている "1" の概念同様の一つの「対象」としてとらえ直すことができずに、0.999… という一つ過程と 1 という数の存在矛盾するものととらえるかもしれない。デュビンスキーらはまた、一つ対象としてとらえ直す」というこの精神的能力が、1/3 それ自体を数と見なしたり、自然数集合それ自身一つ対象として取り扱ったりすることと関係していると考えている。

※この「典型的な誤解とその原因」の解説は、「0.999...」の解説の一部です。
「典型的な誤解とその原因」を含む「0.999...」の記事については、「0.999...」の概要を参照ください。

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