L. Zhou と L. Markov の証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/06 13:44 UTC 版)
「円周率の無理性の証明」の記事における「L. Zhou と L. Markov の証明」の解説
ニーベン・インケリの定理より、s2 が 0 でない有理数ならば、cos s は無理数である。cos π = −1 は有理数であるから、π2 ≠ 0 は無理数である（したがって π も無理数である）。 Zhou–Markov は π が無理数であることの別の初等的な証明も与えている。 ニーベン・インケリの定理の証明を次に示す。 整数 n ≥ 0 に対して g n ( x ) = ( r 2 x 2 − x 4 ) n n ! {\displaystyle g_{n}(x)={\frac {(r^{2}x^{2}-x^{4})^{n}}{n!}}} とおき I n = ∫ 0 r g n ( x ) sin ( r − x ) d x , J n = ∫ 0 r x g n ( x ) cos ( r − x ) d x , K n = ∫ 0 r x 2 g n ( x ) sin ( r − x ) d x , L n = ∫ 0 r x 3 g n ( x ) cos ( r − x ) d x , {\displaystyle {\begin{aligned}I_{n}&=\int _{0}^{r}g_{n}(x)\sin(r-x)dx,\\J_{n}&=\int _{0}^{r}xg_{n}(x)\cos(r-x)dx,\\K_{n}&=\int _{0}^{r}x^{2}g_{n}(x)\sin(r-x)dx,\\L_{n}&=\int _{0}^{r}x^{3}g_{n}(x)\cos(r-x)dx,\\\end{aligned}}} とおく。n = 0 のときの積分をすると I 0 = J 0 = 1 − cos r , K 0 = r 2 − 2 − 2 cos r , L 0 = 3 K 0 , {\displaystyle {\begin{aligned}I_{0}&=J_{0}=1-\cos r,\\K_{0}&=r^{2}-2-2\cos r,\\L_{0}&=3K_{0},\\\end{aligned}}} である。各積分を1回ずつ部分積分することにより、n > 0 に対して次の漸化式を得る。 I n = 4 L n − 1 − 2 r 2 J n − 1 , J n = ( 4 n + 1 ) I n − 2 r 2 K n − 1 , K n = − ( 4 n + 2 ) J n + 2 r 2 L n − 1 , L n = ( 4 n + 3 ) K n + 2 n r 2 I n − 2 r 4 K n − 1 . {\displaystyle {\begin{aligned}I_{n}&=4L_{n-1}-2r^{2}J_{n-1},\\J_{n}&=(4n+1)I_{n}-2r^{2}K_{n-1},\\K_{n}&=-(4n+2)J_{n}+2r^{2}L_{n-1},\\L_{n}&=(4n+3)K_{n}+2nr^{2}I_{n}-2r^{4}K_{n-1}.\\\end{aligned}}} これらより、I n , J n , K n , L n は、すべて u n ( R ) + v n ( R ) cos r {\displaystyle {\begin{aligned}u_{n}(R)+v_{n}(R)\cos r\end{aligned}}} の形になる。ただし、u n ( R ) と v n ( R ) は整数係数の R = r 2 の多項式で、次数は高々 2 n + 1 である。 I m = J m = K m = L m = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}I_{m}=J_{m}=K_{m}=L_{m}=0\\\end{aligned}}} だと仮定すると I 0 = J 0 = K 0 = L 0 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}I_{0}=J_{0}=K_{0}=L_{0}=0\\\end{aligned}}} である。ところが 2 I 0 + K 0 = r 2 ≠ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}2I_{0}+K_{0}=r^{2}\neq 0\\\end{aligned}}} なので矛盾である。したがって、I n , J n , K n , L n のうち少なくとも1つは、無限に多くのゼロでない項を持つ。それを M n とおく。 さて R = r 2 = a b ≠ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}R=r^{2}={a \over b}\neq 0\\\end{aligned}}} が有理数で cos r = p q {\displaystyle {\begin{aligned}\cos r={p \over q}\\\end{aligned}}} も有理数だと仮定する。すると、qb 2n + 1 Mn は整数で、n → ∞ のとき限りなく小さくなる。したがって十分大きな n に対して、qb 2n + 1 Mn = 0 となり、Mn = 0 となる。これは矛盾である。ゆえに、ニーベン・インケリの定理が証明された。
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