初等的な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/03/20 10:08 UTC 版)
真空準位は、初等的には、古典力学における第二宇宙速度のアナロジーで理解される。 一つの初等的な例として、この考え方に基づいて水素原子に対して真空準位を定義してみよう。 軌道を周回する電子は1個とし、電子も原子核も点電荷として扱うと、電子も原子核間に働くクーロン力は、 F = − e 2 4 π ϵ 0 r 2 {\displaystyle F=-{\frac {e^{2}}{4\pi {\epsilon }_{0}{r^{2}}}}} で与えられる。ここで、e は電気素量、 ϵ 0 {\displaystyle {\epsilon }_{0}} は真空の誘電率である。 この F を与える力学的なポテンシャルを E とすると、 d E d r = − F = e 2 4 π ϵ 0 r 2 {\displaystyle {\frac {dE}{dr}}=-F={\frac {e^{2}}{4\pi {\epsilon }_{0}{r^{2}}}}} となる。上式の両辺を積分すると、 E = − ∫ F d r = − e 2 4 π ϵ 0 r + C {\displaystyle E=-\int Fdr=-{\frac {e^{2}}{4\pi {\epsilon }_{0}{r}}}+C} となる。C は積分定数で電位の基準のとりかたに依存するが、クーロン力は無限遠で0なので、無限遠を基準にするのが都合が良い。そこで、 E V = E ( ∞ ) {\displaystyle E_{\mathrm {V} }=E(\infty )} を、水素原子における真空準位と定義する。
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初等的な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/05 23:40 UTC 版)
初等的な定義では条件付き期待値は条件付き確率による期待値である。P(A) > 0 をみたす事象 A が起きたことが分かったときに、事象 B が起きる条件付き確率は P ( B ∣ A ) := P ( A ∩ B ) P ( A ) {\displaystyle \operatorname {P} (B\mid A):={\frac {\operatorname {P} (A\cap B)}{\operatorname {P} (A)}}} で定義され、事象 A が起きたことが分かったときの確率変数 X の条件付き期待値は E [ X ∣ A ] := E P ( ⋅ ∣ A ) [ X ] = E [ X , A ] P ( A ) {\displaystyle \operatorname {E} [X\mid A]:=\operatorname {E} ^{\operatorname {P} (\cdot \mid A)}[X]={\frac {\operatorname {E} [X,A]}{\operatorname {P} (A)}}} で与えられる。
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初等的な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 22:35 UTC 版)
以下では、自然数は 0 {\displaystyle 0} を含むとし、 a {\displaystyle a} が b {\displaystyle b} を割り切ること（つまり b = c a {\displaystyle b=ca} となる自然数 c {\displaystyle c} が存在すること）を a ∣ b {\displaystyle a\mid b} と表す。 写像 gcd : N n → N ; ( a 1 , … , a n ) ↦ d {\displaystyle \gcd \colon \mathbb {N} ^{n}\to \mathbb {N} ;(a_{1},\dots ,a_{n})\mapsto d} を すべての 1 ≦ i ≦ n {\displaystyle 1\leqq i\leqq n} に対して d ∣ a i {\displaystyle d\mid a_{i}} であり、 すべての自然数 b {\displaystyle b} に対し、すべての 1 ≦ i ≦ n {\displaystyle 1\leqq i\leqq n} に対して b ∣ a i {\displaystyle b\mid a_{i}} ならば b ∣ d {\displaystyle b\mid d} となる ように定める。 d {\displaystyle d} を a 1 , … , a n {\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}} の最大公約数といい、 gcd ( a 1 , … , a n ) {\displaystyle \gcd(a_{1},\dots ,a_{n})} や ( a 1 , … , a n ) {\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})} と表す。 gcd ( a 1 , … , a n ) = 1 {\displaystyle \gcd(a_{1},\dots ,a_{n})=1} が成り立つことを a 1 , … , a n {\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}} が互いに素であると言う。 この定義から容易に次のことがわかる。 gcd ( a , b ) = gcd ( b , a ) {\displaystyle \gcd(a,b)=\gcd(b,a)} が成り立つ。 gcd ( gcd ( a , b ) , c ) = gcd ( a , b , c ) {\displaystyle \gcd(\gcd(a,b),c)=\gcd(a,b,c)} が成り立つ。 最大公約数は存在すれば一意である。 n = 0 {\displaystyle n=0} であれば（つまり空集合の）最大公約数は 0 {\displaystyle 0} である。空積が 1 = { ∅ } {\displaystyle 1=\{\varnothing \}} であることと空なる真（英語版）に注意せよ。 n = 1 {\displaystyle n=1} であれば gcd ( a 1 ) = a 1 {\displaystyle \gcd(a_{1})=a_{1}} である。 n = 2 {\displaystyle n=2} とし、 0 {\displaystyle 0} と 0 {\displaystyle 0} の最大公約数は 0 {\displaystyle 0} である。ゆえに、一般には最大公約数は最大の公約数ではない。 n = 2 {\displaystyle n=2} とし、 0 {\displaystyle 0} でない自然数 a 1 {\displaystyle a_{1}} と 0 {\displaystyle 0} の最大公約数は a 1 {\displaystyle a_{1}} である 自然数が一つ以下の場合は自明なので普通は二つ以上の場合を考えることになるが、二番目の性質により二つの自然数の最大公約数を考えることに帰着する。この定義からアプリオリには任意の二つの自然数に最大公約数が存在するかわからないが、実際には単に存在するだけでなく具体的に計算するアルゴリズムがユークリッドの互除法として知られており、この重要な応用がベズーの等式である。 たとえば 333 {\displaystyle 333} と 57 {\displaystyle 57} の最大公約数をユークリッドの互除法により求めてみよう。 333 = 57 × 5 + 48 {\displaystyle 333=57\times 5+48} なので gcd ( 333 , 57 ) = gcd ( 57 , 48 ) {\displaystyle \gcd(333,57)=\gcd(57,48)} である。 57 = 48 × 1 + 9 {\displaystyle 57=48\times 1+9} なので gcd ( 57 , 48 ) = gcd ( 48 , 9 ) {\displaystyle \gcd(57,48)=\gcd(48,9)} である。 48 = 9 × 5 + 3 {\displaystyle 48=9\times 5+3} なので gcd ( 48 , 9 ) = gcd ( 9 , 3 ) {\displaystyle \gcd(48,9)=\gcd(9,3)} である。 9 = 3 × 3 + 0 {\displaystyle 9=3\times 3+0} なので gcd ( 9 , 3 ) = gcd ( 3 , 0 ) = 3 {\displaystyle \gcd(9,3)=\gcd(3,0)=3} であり、最大公約数が 3 {\displaystyle 3} であることがわかった。 このように最大公約数の定義や計算に素数や素因数分解などのような高級な概念は全く必要ないのだが、算術の基本定理が成り立つことを利用して最大公約数を明示的に表すこともできる。つまり、すべての素数から成る集合を P r i m e s {\displaystyle {\mathfrak {Primes}}} として、 a 1 , … , a n {\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}} を a i = ∏ p ∈ P r i m e s p e p ( i ) {\displaystyle a_{i}=\prod _{p\in {\mathfrak {Primes}}}p^{e_{p}(i)}} と素因数分解すれば、次が成り立つ。 gcd ( a 1 , … , a n ) = ∏ p ∈ P r i m e s p min { e p ( 1 ) , … , e p ( n ) } {\displaystyle \gcd(a_{1},\dots ,a_{n})=\prod _{p\in {\mathfrak {Primes}}}p^{\min\{e_{p}(1),\ldots ,e_{p}(n)\}}} たとえば 333 = 3 2 × 37 {\displaystyle 333=3^{2}\times 37} や 57 = 3 × 19 {\displaystyle 57=3\times 19} と素因数分解できるので、たしかに gcd ( 333 , 57 ) = 3 {\displaystyle \gcd(333,57)=3} となりユークリッドの互除法を用いて得られた値と一致する。 他にも次のような性質が知られている。 gcd ( a , b ) lcm ( a , b ) = a b {\displaystyle \gcd(a,b)\operatorname {lcm} (a,b)=ab} （ただし lcm {\displaystyle \operatorname {lcm} } は最小公倍数）が成り立つ。この関係によって最小公倍数を計算するのが一般的である。 gcd ( a , lcm ( b , c ) ) = lcm ( gcd ( a , b ) , gcd ( a , c ) ) {\displaystyle \gcd(a,\operatorname {lcm} (b,c))=\operatorname {lcm} (\gcd(a,b),\gcd(a,c))} や lcm ( a , gcd ( b , c ) ) = gcd ( lcm ( a , b ) , lcm ( a , c ) ) {\displaystyle \operatorname {lcm} (a,\gcd(b,c))=\gcd(\operatorname {lcm} (a,b),\operatorname {lcm} (a,c))} のような分配則が成り立つ。 gcd ( a , b ) = ∑ k ∣ a , b φ ( k ) {\displaystyle \gcd(a,b)=\sum _{k\mid a,b}\varphi (k)} （ただし φ ( k ) {\displaystyle \varphi (k)} はオイラーのトーシェント関数）が成り立つ。 gcd ( a , b ) = a f ( b / a ) {\displaystyle \gcd(a,b)=af(b/a)} （ただし f {\displaystyle f} はトマエ関数）が成り立つ。 正の奇数 a {\displaystyle a} と自然数 b {\displaystyle b} に対して gcd ( a , b ) = log 2 ∏ k = 0 a − 1 ( 1 + e − 2 π i k b / a ) {\displaystyle \gcd(a,b)=\log _{2}\prod _{k=0}^{a-1}(1+e^{-2\pi ikb/a})} が成り立つ。 gcd ( a , b ) = ∑ k = 1 a e 2 π i k b / a ∑ d ∣ a c d ( k ) d {\displaystyle \gcd(a,b)=\sum _{k=1}^{a}e^{2\pi ikb/a}\sum _{d\mid a}{\frac {c_{d}(k)}{d}}} （ただし c d ( k ) {\displaystyle c_{d}(k)} はラマヌジャン和（英語版））が成り立つ。 gcd ( n a − 1 , n b − 1 ) = n gcd ( a , b ) − 1 {\displaystyle \gcd(n^{a}-1,n^{b}-1)=n^{\gcd(a,b)}-1} が成り立つ。 ∑ k = 1 n gcd ( k , n ) = n ∏ p ∣ n ( 1 + v p ( n ) ( 1 − p − 1 ) ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\gcd(k,n)=n\prod _{p\mid n}(1+v_{p}(n)(1-p^{-1}))} （ただし v p ( n ) {\displaystyle v_{p}(n)} は n {\displaystyle n} の p {\displaystyle p} 進付値）が成り立つ。 特に重要な事実として、組 ( N , ∣ ) {\displaystyle (\mathbb {N} ,\mid )} は半順序集合であるのでハッセ図を書くことができ、さらに lcm {\displaystyle \operatorname {lcm} } と gcd {\displaystyle \gcd } をそれぞれ結びと交わりとすれば完備分配束を成し、 1 {\displaystyle 1} が最小元、 0 {\displaystyle 0} が最大元になる。したがって圏論的には lcm {\displaystyle \operatorname {lcm} } と gcd {\displaystyle \gcd } はそれぞれ余積と積に対応する。
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