水素原子とは? わかりやすく解説

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水素原子

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2023/01/17 15:27 UTC 版)

水素原子すいそげんし: Hydrogen atom)は、水素原子である。1つの陽子と1つの電子により構成されている。水素原子は宇宙の全質量の約75%を占める[1]


  1. ^ Palmer, D. (1997年9月13日). “Hydrogen in the Universe”. NASA. 2008年2月5日閲覧。
  2. ^ 「活性水素」『岩波理化学辞典』第5版、371ページ。
  3. ^ 小項目事典,世界大百科事典内言及, 日本大百科全書(ニッポニカ),ブリタニカ国際大百科事典. “活性水素とは” (日本語). コトバンク. 2021年10月18日閲覧。
  4. ^ Greenwood, N. N.; & Earnshaw, A. (1997). Chemistry of the Elements (2nd Edn.), Oxford:Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-3365-4.
  5. ^ Pauli, W (1926). “Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik”. Zeitschrift für Physik 36: 336–363. Bibcode1926ZPhy...36..336P. doi:10.1007/BF01450175. 
  6. ^ Kleinert H. (1968). “Group Dynamics of the Hydrogen Atom”. Lectures in Theoretical Physics, edited by W.E. Brittin and A.O. Barut, Gordon and Breach, N.Y. 1968: 427–482. http://www.physik.fu-berlin.de/~kleinert/kleiner_re4/4.pdf. 
  7. ^ Duru I.H., Kleinert H. (1979). “Solution of the path integral for the H-atom”. Physics Letters B 84 (2): 185–188. Bibcode1979PhLB...84..185D. doi:10.1016/0370-2693(79)90280-6. http://www.physik.fu-berlin.de/~kleinert/kleiner_re65/65.pdf. 
  8. ^ Duru I.H., Kleinert H. (1982). “Quantum Mechanics of H-Atom from Path Integrals”. Fortschr. Phys 30 (2): 401–435. Bibcode1982ForPh..30..401D. doi:10.1002/prop.19820300802. http://www.physik.fu-berlin.de/~kleinert/kleiner_re83/83.pdf. 
  9. ^ P.J. Mohr, B.N. Taylor, and D.B. Newell (2011), "The 2010 CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants" (Web Version 6.0). This database was developed by J. Baker, M. Douma, and S. Kotochigova. Available: http://physics.nist.gov/constants. National Institute of Standards and Technology, Gaithersburg, MD 20899. Link to R, Link to hcR
  10. ^ Messiah, Albert (1999). Quantum Mechanics. New York: Dover. pp. 1136. ISBN 0-486-40924-4 
  11. ^ LaguerreL. Wolfram Mathematica page
  12. ^ Introduction to Quantum Mechanics, Griffiths 4.89


「水素原子」の続きの解説一覧

水素原子

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/06/18 14:06 UTC 版)

ボーア=ゾンマーフェルトの量子化条件」の記事における「水素原子」の解説

クーロンポテンシャルの下、質量 me の電子原子核中心に3次元運動する水素原子を考える。極座標 (r, θ, φ) をとれば、水素原子のハミルトニアンH = 1 m e ( p r 2 + p θ 2 r 2 + p ϕ 2 r 2 sin 2 ⁡ θ ) − e 2 r 2 {\displaystyle H={\frac {1}{m_{\mathrm {e} }}}\left(p_{r}^{2}+{\frac {p_{\theta }^{2}}{r^{2}}}+{\frac {p_{\phi }^{2}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right)-{\frac {e^{2}}{r^{2}}}} で与えられる。 ここで、系の保存量として、z 軸方向角運動量 Mz角運動量2乗 M2エネルギー E が存在し M z = p ϕ M 2 = p θ 2 + p ϕ 2 sin 2 ⁡ θ E = 1 m e ( p r 2 + p θ 2 r 2 + p ϕ 2 r 2 sin 2 ⁡ θ ) − e 2 r 2 {\displaystyle {\begin{aligned}M_{z}&=p_{\phi }\\M^{2}&=p_{\theta }^{2}+{\frac {p_{\phi }^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\\E&={\frac {1}{m_{\mathrm {e} }}}\left(p_{r}^{2}+{\frac {p_{\theta }^{2}}{r^{2}}}+{\frac {p_{\phi }^{2}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right)-{\frac {e^{2}}{r^{2}}}\end{aligned}}} であることを用いると ∮ p ϕ d ϕ = 2 π p ϕ = 2 π M z ∮ p θ d θ = 2 ∫ θ 1 θ 2 M 2 − M z 2 sin 2 ⁡ θ d θ = 2 π ( M − | M z | ) ∮ p r d r = 2r 1 r 2 2 m e E + 2 m e e 2 rM 2 r 2 d r = − 2 π M + π e 2 2 m e − E {\displaystyle {\begin{aligned}\oint p_{\phi }\,\mathrm {d} \phi &=2\pi p_{\phi }=2\pi M_{z}\\\oint p_{\theta }\,\mathrm {d} \theta &=2\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}{\sqrt {M^{2}-{\frac {M_{z}^{2}}{\sin ^{2}{\theta }}}}}\,\mathrm {d} \theta =2\pi (M-|M_{z}|)\\\oint p_{r}\,\mathrm {d} r&=2\int _{r_{1}}^{r_{2}}{\sqrt {2m_{\mathrm {e} }E+{\frac {2m_{\mathrm {e} }e^{2}}{r}}-{\frac {M^{2}}{r^{2}}}}}\,\mathrm {d} r=-2\pi M+\pi e^{2}{\sqrt {\frac {2m_{\mathrm {e} }}{-E}}}\end{aligned}}} となる。量子化条件によって、これらがそれぞれ、nφ, nθ, nr に等しいとすれば M z = n ϕ ℏ = m ℏ M = ( n θ + n ϕ ) ℏ = k ℏ E = − m e e 4 2 ℏ 2 ( n r + n θ + n ϕ ) 2 = − 2 π 2 m e e 4 n 2 h 2 {\displaystyle {\begin{aligned}M_{z}&=n_{\phi }\hbar =m\hbar \\M&=(n_{\theta }+n_{\phi })\hbar =k\hbar \\E&=-{\frac {m_{\mathrm {e} }e^{4}}{2\hbar ^{2}(n_{r}+n_{\theta }+n_{\phi })^{2}}}=-{\frac {2\pi ^{2}m_{\mathrm {e} }e^{4}}{n^{2}h^{2}}}\end{aligned}}} が得られる。ここで導入されm = nφ は磁気量子数k = nθ + nφ は方位量子数n = nr + nθ + nφ は主量子数呼ばれる古典軌道との対応関係で直的な描像得ようとするならば、定常状態軌道長半径 a = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}r1 + r2/2、短半径 b = √r1 + r2 を a = ℏ 2 m e e 2 n 2 = a B n 2 b = ℏ 2 m e e 2 n k = a B n k {\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {\hbar ^{2}}{m_{\mathrm {e} }e^{2}}}n^{2}=a_{\mathrm {B} }n^{2}\\b&={\frac {\hbar ^{2}}{m_{\mathrm {e} }e^{2}}}nk=a_{\mathrm {B} }nk\end{aligned}}} とする楕円軌道となる。但し、aBボーア半径である。

※この「水素原子」の解説は、「ボーア=ゾンマーフェルトの量子化条件」の解説の一部です。
「水素原子」を含む「ボーア=ゾンマーフェルトの量子化条件」の記事については、「ボーア=ゾンマーフェルトの量子化条件」の概要を参照ください。


水素原子

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シュレーディンガー方程式」の記事における「水素原子」の解説

詳細は「水素原子におけるシュレーディンガー方程式の解を参照 シュレーディンガー方程式形式は、水素原子に応用ができる。 E ψ = − ℏ 2 2 μ ∇ 2 ψ − e 2 4 π ϵ 0 r ψ {\displaystyle E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}\psi -{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\psi } e は電気素量で、r は電子位置(r = |r | は位置ベクトル大きさで、原点からの距離を表す)、ハミルトニアンポテンシャル項はクーロンの法則表し、ε0 は真空の誘電率で μ = m e m p m e + m p {\displaystyle \mu ={\frac {m_{e}m_{p}}{m_{e}+m_{p}}}} は、質量mp の水素原子プロトン)と質量me の電子の二体換算質量である。陽子電子逆の電荷を持つから、ポテンシャルの項に負符号現れる電子質量代わりに換算質量使われるのは、電子陽子互いに共通の質量中心周り運動しているためであり、解くべき問題は二体問題になる。ここでは主に電子運動興味があるので、等価な一体問題として、換算質量使った電子運動を解くことになる。 水素に対する波動関数電子座標関数で、実際にはそれぞれの座標関数分離できる普通はこれは球面座標系なされる: ψ ( r , θ , ϕ ) = R ( r ) Y ℓ m ( θ , ϕ ) = R ( r ) Θ ( θ ) Φ ( ϕ ) {\displaystyle \psi (r,\theta ,\phi )=R(r)Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\phi )} R ( r ) {\displaystyle \scriptstyle R(r)} は動径関数で、 Y ℓ m ( θ , ϕ ) {\displaystyle \scriptstyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )\,} は次数 ℓ と位数m の球面調和関数である。水素原子はシュレーディンガー方程式厳密に解かれる唯一の原子である。多電子原子近似方法必要とする。解の仲間は ψ n ℓ m ( r , θ , ϕ ) = ( 2 n a 0 ) 3 ( n − ℓ − 1 ) ! 2 n [ ( n + ℓ ) ! ] e − r / n a 0 ( 2 r n a 0 ) ℓ L n − ℓ − 1 2+ 1 ( 2 r n a 0 ) ⋅ Y ℓ m ( θ , ϕ ) {\displaystyle \psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )={\sqrt {{\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)}^{3}{\frac {(n-\ell -1)!}{2n[(n+\ell )!]}}}}e^{-r/na_{0}}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)^{\ell }L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)\cdot Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )} ここで a 0 = 4 π ε 0 ℏ 2 m e e 2 {\displaystyle a_{0}={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{e}e^{2}}}} はボーア半径L n − ℓ − 1 2+ 1 ( ⋯ ) {\displaystyle L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}(\cdots )} は次数 n − ℓ − 1一般的なラゲール多項式ラゲール関数)、 n , ℓ, m はそれぞれ主量子数方位量子数磁気量子数であり, 以下の値を取り得る: n = 1 , 2 , 3 ⋯ ℓ = 0 , 1 , 2 ⋯ n − 1 m = − ℓ ⋯ ℓ {\displaystyle {\begin{aligned}n&=1,2,3\cdots \\\ell &=0,1,2\cdots n-1\\m&=-\ell \cdots \ell \end{aligned}}}

※この「水素原子」の解説は、「シュレーディンガー方程式」の解説の一部です。
「水素原子」を含む「シュレーディンガー方程式」の記事については、「シュレーディンガー方程式」の概要を参照ください。

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