水素
水素原子
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/01/17 15:27 UTC 版)
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水素原子
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/18 14:06 UTC 版)
「ボーア＝ゾンマーフェルトの量子化条件」の記事における「水素原子」の解説
クーロンポテンシャルの下、質量 me の電子が原子核を中心に3次元運動する水素原子を考える。極座標 (r, θ, φ) をとれば、水素原子のハミルトニアンは H = 1 m e ( p r 2 + p θ 2 r 2 + p ϕ 2 r 2 sin 2 θ ) − e 2 r 2 {\displaystyle H={\frac {1}{m_{\mathrm {e} }}}\left(p_{r}^{2}+{\frac {p_{\theta }^{2}}{r^{2}}}+{\frac {p_{\phi }^{2}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right)-{\frac {e^{2}}{r^{2}}}} で与えられる。 ここで、系の保存量として、z 軸方向の角運動量 Mz、角運動量の2乗 M2、エネルギー E が存在し M z = p ϕ M 2 = p θ 2 + p ϕ 2 sin 2 θ E = 1 m e ( p r 2 + p θ 2 r 2 + p ϕ 2 r 2 sin 2 θ ) − e 2 r 2 {\displaystyle {\begin{aligned}M_{z}&=p_{\phi }\\M^{2}&=p_{\theta }^{2}+{\frac {p_{\phi }^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\\E&={\frac {1}{m_{\mathrm {e} }}}\left(p_{r}^{2}+{\frac {p_{\theta }^{2}}{r^{2}}}+{\frac {p_{\phi }^{2}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right)-{\frac {e^{2}}{r^{2}}}\end{aligned}}} であることを用いると ∮ p ϕ d ϕ = 2 π p ϕ = 2 π M z ∮ p θ d θ = 2 ∫ θ 1 θ 2 M 2 − M z 2 sin 2 θ d θ = 2 π ( M − | M z | ) ∮ p r d r = 2 ∫ r 1 r 2 2 m e E + 2 m e e 2 r − M 2 r 2 d r = − 2 π M + π e 2 2 m e − E {\displaystyle {\begin{aligned}\oint p_{\phi }\,\mathrm {d} \phi &=2\pi p_{\phi }=2\pi M_{z}\\\oint p_{\theta }\,\mathrm {d} \theta &=2\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}{\sqrt {M^{2}-{\frac {M_{z}^{2}}{\sin ^{2}{\theta }}}}}\,\mathrm {d} \theta =2\pi (M-|M_{z}|)\\\oint p_{r}\,\mathrm {d} r&=2\int _{r_{1}}^{r_{2}}{\sqrt {2m_{\mathrm {e} }E+{\frac {2m_{\mathrm {e} }e^{2}}{r}}-{\frac {M^{2}}{r^{2}}}}}\,\mathrm {d} r=-2\pi M+\pi e^{2}{\sqrt {\frac {2m_{\mathrm {e} }}{-E}}}\end{aligned}}} となる。量子化条件によって、これらがそれぞれ、nφ, nθ, nr に等しいとすれば M z = n ϕ ℏ = m ℏ M = ( n θ + n ϕ ) ℏ = k ℏ E = − m e e 4 2 ℏ 2 ( n r + n θ + n ϕ ) 2 = − 2 π 2 m e e 4 n 2 h 2 {\displaystyle {\begin{aligned}M_{z}&=n_{\phi }\hbar =m\hbar \\M&=(n_{\theta }+n_{\phi })\hbar =k\hbar \\E&=-{\frac {m_{\mathrm {e} }e^{4}}{2\hbar ^{2}(n_{r}+n_{\theta }+n_{\phi })^{2}}}=-{\frac {2\pi ^{2}m_{\mathrm {e} }e^{4}}{n^{2}h^{2}}}\end{aligned}}} が得られる。ここで導入された m = nφ は磁気量子数、k = nθ + nφ は方位量子数、n = nr + nθ + nφ は主量子数と呼ばれる。 古典軌道との対応関係で直観的な描像を得ようとするならば、定常状態の軌道は長半径 a = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}r1 + r2/2、短半径 b = √r1 + r2 を a = ℏ 2 m e e 2 n 2 = a B n 2 b = ℏ 2 m e e 2 n k = a B n k {\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {\hbar ^{2}}{m_{\mathrm {e} }e^{2}}}n^{2}=a_{\mathrm {B} }n^{2}\\b&={\frac {\hbar ^{2}}{m_{\mathrm {e} }e^{2}}}nk=a_{\mathrm {B} }nk\end{aligned}}} とする楕円軌道となる。但し、aB はボーア半径である。
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水素原子
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「シュレーディンガー方程式」の記事における「水素原子」の解説
詳細は「水素原子におけるシュレーディンガー方程式の解」を参照 シュレーディンガー方程式の形式は、水素原子に応用ができる。 E ψ = − ℏ 2 2 μ ∇ 2 ψ − e 2 4 π ϵ 0 r ψ {\displaystyle E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}\psi -{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\psi } e は電気素量で、r は電子の位置（r = |r | は位置ベクトルの大きさで、原点からの距離を表す）、ハミルトニアンのポテンシャル項はクーロンの法則を表し、ε0 は真空の誘電率で μ = m e m p m e + m p {\displaystyle \mu ={\frac {m_{e}m_{p}}{m_{e}+m_{p}}}} は、質量mp の水素原子核（プロトン）と質量me の電子の二体換算質量である。陽子と電子は逆の電荷を持つから、ポテンシャルの項に負符号が現れる。電子質量の代わりに換算質量が使われるのは、電子と陽子が互いに共通の質量中心の周りを運動しているためであり、解くべき問題は二体問題になる。ここでは主に電子の運動に興味があるので、等価な一体問題として、換算質量を使った電子の運動を解くことになる。 水素に対する波動関数は電子の座標の関数で、実際にはそれぞれの座標の関数に分離できる。普通はこれは球面座標系でなされる： ψ ( r , θ , ϕ ) = R ( r ) Y ℓ m ( θ , ϕ ) = R ( r ) Θ ( θ ) Φ ( ϕ ) {\displaystyle \psi (r,\theta ,\phi )=R(r)Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\phi )} R ( r ) {\displaystyle \scriptstyle R(r)} は動径関数で、 Y ℓ m ( θ , ϕ ) {\displaystyle \scriptstyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )\,} は次数 ℓ と位数m の球面調和関数である。水素原子はシュレーディンガー方程式が厳密に解かれる唯一の原子である。多電子原子は近似方法を必要とする。解の仲間は ψ n ℓ m ( r , θ , ϕ ) = ( 2 n a 0 ) 3 ( n − ℓ − 1 ) ! 2 n [ ( n + ℓ ) ! ] e − r / n a 0 ( 2 r n a 0 ) ℓ L n − ℓ − 1 2 ℓ + 1 ( 2 r n a 0 ) ⋅ Y ℓ m ( θ , ϕ ) {\displaystyle \psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )={\sqrt {{\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)}^{3}{\frac {(n-\ell -1)!}{2n[(n+\ell )!]}}}}e^{-r/na_{0}}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)^{\ell }L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)\cdot Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )} ここで a 0 = 4 π ε 0 ℏ 2 m e e 2 {\displaystyle a_{0}={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{e}e^{2}}}} はボーア半径、 L n − ℓ − 1 2 ℓ + 1 ( ⋯ ) {\displaystyle L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}(\cdots )} は次数 n − ℓ − 1の一般的なラゲール多項式（ラゲール陪関数）、 n , ℓ, m はそれぞれ主量子数、 方位量子数、磁気量子数であり, 以下の値を取り得る: n = 1 , 2 , 3 ⋯ ℓ = 0 , 1 , 2 ⋯ n − 1 m = − ℓ ⋯ ℓ {\displaystyle {\begin{aligned}n&=1,2,3\cdots \\\ell &=0,1,2\cdots n-1\\m&=-\ell \cdots \ell \end{aligned}}}
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「水素原子」の例文・使い方・用例・文例
- 水素原子
- 水分子は、２個の水素原子と１個の酸素原子からなる。
- 水素原子の構造.
- 水素原子が融合すると莫大なエネルギーを放出する.
- 陽電気を帯びた水素原子
- 一方が共有結合、もう一方がイオン結合である（例えば酸素や窒素のような）二つの陰性の原子間で水素原子を形成する化学結合
- 不飽和油に水素原子を加える化学過程
- 水素原子よりも複雑な原子の宇宙合成
- ハロゲン原子がアルカンで水素原子に代用された有機化合物
- 1分子当たり置換可能な水素原子を1つしか含まない酸
- 1分子当たり置換可能な水素原子を2つ含む酸
- 1つの分子あたり2つの水素原子を取り替えることによって引き出された塩
- 1分子当たり置換可能な水素原子を3つ含む酸
- 1分子当たり置換可能な水素原子を4つ含む酸
- アミノ基で置換された水素原子を持つメチル
- 炭化水素の水素原子が臭素と他のハロゲン原子と取り替えられた合成物
- 酸が解離するとき、陽イオンを形成する酸中の水素原子
- 有機物群によってとって代わる水素原子を持つアンモニウムから派生する複合物
- 水素原子を1つ取り除くことにより、メタンから誘導される1価の炭化水素基C2H5
- 原子炉で使用される、かなりの割合の重水素原子を含む水
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