初等的な考察
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/01 09:58 UTC 版)
「三角関数の無限乗積展開」の記事における「初等的な考察」の解説
sin ( π z ) {\displaystyle \sin({\pi }z)} は複素平面全体で正則(マクローリン展開の収束半径が無限大)であるから無限次の多項式で表される。 sin ( π z ) {\displaystyle \sin({\pi }z)} の零点は z = ± n {\displaystyle z={\pm }n} であるから、 c {\displaystyle c} を定数として sin ( π z ) = c z ∏ n = 1 ∞ ( 1 + z n ) ( 1 − z n ) = c z ∏ n = 1 ∞ ( 1 − z 2 n 2 ) {\displaystyle \sin({\pi }z)=cz\prod _{n=1}^{\infty }{\left(1+{\frac {z}{n}}\right)}{\left(1-{\frac {z}{n}}\right)}=cz\prod _{n=1}^{\infty }{\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}} 微分して π cos ( π z ) = c ∏ n = 1 ∞ ( 1 − z 2 n 2 ) + c z d d z ∏ n = 1 ∞ ( 1 − z 2 n 2 ) {\displaystyle \pi \cos({\pi }z)=c\prod _{n=1}^{\infty }{\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}+cz{\frac {d}{dz}}\prod _{n=1}^{\infty }{\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}} z = 0 {\displaystyle z=0} を代入すれば c = π {\displaystyle c=\pi } を得る。同様に cos ( π z ) = c ′ ∏ n = 1 ∞ ( 1 + z n − 1 2 ) ( 1 − z n − 1 2 ) {\displaystyle \cos({\pi }z)=c'\prod _{n=1}^{\infty }{\left(1+{\frac {z}{n-{\frac {1}{2}}}}\right)}{\left(1-{\frac {z}{n-{\frac {1}{2}}}}\right)}} z = 0 {\displaystyle z=0} を代入すれば c ′ = 1 {\displaystyle c'=1} を得る。但し、これは厳密な証明ではない。何故ならば z → ∞ {\displaystyle z\to \infty } を考慮していないからである。同じ方法で e z {\displaystyle e^{z}} の無限乗積展開を求めようとすると失敗するであろう。一般にはワイエルシュトラスの因数分解定理が必要になる。
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