ワイエルシュトラスの因数分解定理とは - わかりやすく解説 Weblio辞書

ワイエルシュトラスの因数分解定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/10/10 16:50 UTC 版)

複素解析において、ワイエルシュトラスの因数分解定理（ワイエルシュトラスのいんすうぶんかいていり、英: Weierstrass factorization theorem）とは、前もって与えられた集積点を持たない可算無限個の点のみを零点として持つ恒等的に 0 でない整函数が存在し、それは一次関数の無限積と零点を持たない整函数の積で表すことができることを示す定理である。

脚注

^ Knopp, K. (1996), “Weierstrass's Factor-Theorem”, Theory of Functions, Part II, New York: Dover, pp. 1–7 .
^ 大沢健夫 (2017年11月20日). 現代複素解析への道標. 現代数学社. p. 35. ISBN 978-4-7687-0480-6
^ Boas, R. P. (1954), Entire Functions, New York: Academic Press Inc., ISBN 0-8218-4505-5, OCLC 6487790 , chapter 2.
^ ^a ^b Rudin, W. (1987), Real and Complex Analysis (3rd ed.), Boston: McGraw Hill, pp. 301–304, ISBN 0-07-054234-1, OCLC 13093736 .
^ ^a ^b 遠木幸成、阪井章 (1966年2月). 関数論. 学術図書出版社. pp. 101-105
^ Weisstein, Eric W. "Weierstrass's Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).
^ Weisstein, Eric W. "Weierstrass Product Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).
^ ^a ^b Conway, J. B. (1995), Functions of One Complex Variable I, 2nd ed., springer.com: Springer, ISBN 0-387-90328-3
^ z = 0 で m 位の零点 (m ≧ 0) を持ち、その他の零点が α₁,α₂, ..., α_n, α_n+1,... (0 < |α₁| ≦ |α₂| ≦ |α₃| ...→ ∞) である超越整函数 f(z)を、ワイエルシュトラスの標準乗積で、
$f(z)=e^{g(z)}z^{m}\prod _{k=1}^{\infty }{\biggl (}1-{\frac {z}{\alpha _{k}}}{\biggr )}e^{g_{k}(z/\alpha _{k})}$
と表すことができる。ここに、g(z) は整函数で、
$g_{k}(z)=z+(1/2)z^{2}+(1/2)z^{3}+\cdots +(1/p_{k})z^{p_{k}}$
である。ここでは、p₁, p₂,... は、 $\sum _{k=1}^{\infty }{\biggl |}{\frac {z}{\alpha _{k}}}{\biggr |}^{p_{k}+1}$ がすべての z に対して収束するような自然数である。このとき超越整函数の位数は、
$\rho =\limsup _{r\rightarrow \infty }\log \log {M(r)}/\log {r}$
で定義される。M(r) は |z| = r における |f(z)| の最大値である。