特定の零点を持つ整函数の存在

ウィキペディア小見出し辞書

特定の零点を持つ整函数の存在

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/05 16:32 UTC 版)

「ワイエルシュトラスの因数分解定理」の記事における「特定の零点を持つ整函数の存在」の解説

次の定理は下記のワイエルシュトラスの定理を簡略化したものであるが、任意に与えられた可算無限数列の全ての要素を零点として持つ整函数の存在を保証している。 定理(簡略版)： { a n } n ∈ N を 0 を含まず、集積点を持たない複素数の無限数列とすると、函数 f ( z ) = ∏ n = 1 ∞ E n ( z / a n ) は点 a n ( n ∈ N ) にのみ零点を持つ整函数である。数 z 0 が数列 { a n } の中にちょうど m 回あれば、函数 f は z = z 0 に多重度 m の零点を持つ。 証明： f ( z ) の対数を取ると次のようになる。 log ⁡ f ( z ) = ∑ n = 1 ∞ log ⁡ E n ( z / a n ) = ∑ n = 1 ∞ ( log ⁡ ( 1 − z / a n ) + h n ( z / a n ) ) 前節で示したように { a n } n ∈ N が集積点を持たないことは、任意の正数 R に対して自然数 N が決まり、 n > N であれば | a n | > R となるという条件と同値である。 R とそれに対応する N を固定して考える。無限和 ∑ n = 1 ∞ log ⁡ E n ( z / a n ) を n ≤ N である有限和 ∑ n = 1 N E n ( z / a n ) = ∑ n = 1 N ( log ⁡ ( 1 − z / a n ) + h n ( z / a n ) ) と n > N である無限和 ∑ n = N + 1 ∞ E n ( z / a n ) = ∑ n = N + 1 ∞ ( log ⁡ ( 1 − z / a n ) + h n ( z / a n ) ) に分けて考える。 有限和 ∑ n = 1 N ( log ⁡ ( 1 − z / a n ) + h n ( z / a n ) ) は n ≤ N である各零点 a n で負の無限大になり、複素平面のそれ以外の点では有限確定値を取る。 一先ず | z | < R {\displaystyle |z| 0 {\displaystyle r>0} に対して、 ∑ n = 1 ∞ ( r / | a n | ) 1 + p n < ∞ , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(r/|a_{n}|\right)^{1+p_{n}}<\infty ,} であるとすると、函数 f ( z ) = ∏ n = 1 ∞ E p n ( z / a n ) {\displaystyle f(z)=\prod _{n=1}^{\infty }E_{p_{n}}(z/a_{n})} は点 a n {\displaystyle a_{n}} にのみ零点を持つ整函数である。数 z 0 {\displaystyle z_{0}} が数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} の中にちょうど m 回あれば、函数 f は z = z 0 {\displaystyle z=z_{0}} に多重度 m の零点を持つ。 定理の中で述べられている数列 { p n } {\displaystyle \{p_{n}\}} は常に存在することに注意せよ。たとえば、常に p n = n {\displaystyle p_{n}=n} とすると上の定理と一致し、収束が保証される。ただし収束する数列は一意ではない。この数列を有限回位置を変えて、他の数列 p'n ≥ pn をとっても、常に収束する。 定理は次のように一般化される。リーマン球面上の開集合の中の数列（したがって、領域）に対して、それらの部分集合の中で正則であり、数列の点で零点を持つ函数が存在する。 代数学の基本定理により与えられる場合も含まれることに注意せよ。もし数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} が有限であれば、 p n = 0 {\displaystyle p_{n}=0} として f ( z ) = c ∏ n ( z − a n ) {\displaystyle \,f(z)=c\,{\displaystyle \prod }_{n}(z-a_{n})} が得られる。