特別な R-加群として
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/02/27 08:43 UTC 版)
「結合多元環」の記事における「特別な R-加群として」の解説
R-加群 A から始めるならば、R-線型環 A は、R-双線型写像 m: A × A → A; (x, y) ↦ xy で、A の任意の x, y, z について x ( y z ) = ( x y ) z {\displaystyle x(yz)=(xy)z} を満たすものを持つ R-加群 A として定義される。この R-双線型写像が A に環の構造を与え、R-線型環の構造が入るのである。任意の R-線型環はこの方法で得られる。 さらにこのようにして得られた線型環 A が単型である必要十分な条件は ∃ 1 ∈ A , 1 x = x 1 = x {\displaystyle \exists 1\in A,\;1x=x1=x} となることである。圏論的に述べれば、この定義は「単型 R-線型環は R-加群全体の成すモノイド圏 R-Mod におけるモノイド対象である」と言うに等しい。
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