係数環の変更とは - わかりやすく解説 Weblio辞書

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係数環の変更

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/01/02 09:37 UTC 版)

この記事には参考文献や外部リンクの一覧が含まれていますが、脚注によって参照されておらず、情報源が不明瞭です。脚注を導入して、記事の信頼性向上にご協力ください。（2015年11月）

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代数学において，環準同型 $f : R \to S$ が与えられると，加群の係数環を変更する3つの方法がある；すなわち，右 $R$ -加群 $M$ と右 $S$ -加群 $N$ に対し，

$f_{!}M=M\otimes _{R}S$ この節には内容がありません。 加筆して下さる協力者を求めています。 (November 2015)
係数拡大と係数制限の関係

$R$ 加群 $M$ と $S$ 加群 $N$ を考える．準同型 $u\in {\text{Hom}}_{R}(M,N)$ $u\in {\text{Hom}}_{R}(M,N)$ , ただし $N$ は係数制限によって $R$ 加群と見なす，が与えられたとき， $Fu : S M \to N$ を合成

$_{S}M=S\otimes _{R}M{\xrightarrow {{\text{id}}_{S}\otimes u}}S\otimes _{R}N\to N$ $_{S}M=S\otimes _{R}M{\xrightarrow {{\text{id}}_{S}\otimes u}}S\otimes _{R}N\to N$ ,

と定義する，ただし最後の写像は $s\otimes n\mapsto sn$ $s\otimes n\mapsto sn$ である．この $Fu$ は $S$ 準同型であり，したがって $F\colon {\text{Hom}}_{R}(M,N)\to {\text{Hom}}_{S}(_{S}M,N)$ $F\colon {\text{Hom}}_{R}(M,N)\to {\text{Hom}}_{S}(_{S}M,N)$ は well-defined で，（アーベル群の）準同型である．

$R$ と $S$ がともに単位元を持つとき，逆写像 $G:{\text{Hom}}_{S}(_{S}M,N)\to {\text{Hom}}_{R}(M,N)$ $G:{\text{Hom}}_{S}(_{S}M,N)\to {\text{Hom}}_{R}(M,N)$ があり，それは以下のように定義される． $v\in {\text{Hom}}_{S}(_{S}M,N)$ $v\in {\text{Hom}}_{S}(_{S}M,N)$ とする．すると $Gv$ は合成

$M\to R\otimes _{R}M{\xrightarrow {f\otimes {\text{id}}_{M}}}S\otimes _{R}M{\xrightarrow {v}}N$ $M\to R\otimes _{R}M{\xrightarrow {f\otimes {\text{id}}_{M}}}S\otimes _{R}M{\xrightarrow {v}}N$

である，ただし最初の写像は標準的な（英語版）同型 $m\mapsto 1\otimes m$ $m\mapsto 1\otimes m$ である．

この構成は群 ${\text{Hom}}_{S}(_{S}M,N)$ ${\text{Hom}}_{S}(_{S}M,N)$ と ${\text{Hom}}_{R}(M,N)$ ${\text{Hom}}_{R}(M,N)$ が同型であることを示している．実はこの同型は準同型 $f$ のみに依っており，したがって関手的である．圏論のことばでは，係数拡大関手は係数制限関手の左随伴である．

関連項目
- Six operations（英語版）
- 体のテンソル積
参考文献
- J.P. May, Notes on Tor and Ext
- NICOLAS BOURBAKI. Algebra I, Chapter II. LINEAR ALGEBRA.§5. Extension of the ring of scalars;§7. Vector spaces. 1974 by Hermann.
関連文献
- http://mathoverflow.net/questions/1534/induction-and-coinduction-of-representations