特別なExt上の環構造と加群構造
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/04 15:36 UTC 版)
「Ext関手」の記事における「特別なExt上の環構造と加群構造」の解説
Ext関手を理解するもう一つの非常に有用な方法は以下の通りである: ExtnR(A, B) = 0 の要素を、A の射影分解 P* に対し、写像 f: Pn → B の同値類と考えると、B で終わる長完全系列 Q* を得て、次数 -n の鎖写像 f*: P* → Q* へ、加群 Pm の射影性を使い写像 f を持ち上げる(lift)ことができる。そのような鎖写像のホモトピー類は、正確に上記の Ext関手の定義の同値類に対応することが分かる。 たとえば環 R が体 k や、k-代数(algebra)の上の群環のような、十分に良い条件下では、Ext*R(k, k) に環の構造を入れることができる。積は同値な非常に多くの解釈を持ち、この解釈は Ext*R(k, k) の元の様々な解釈に対応している。 ひとつの解釈として、鎖写像のこれらのホモトピー類の項として解釈がある。従って、2つの元の積は、対応する表現の成分により表現される。すると、k の分解をひとつ選ぶだけで、すべての計算が HomR(P*,P*) の中でできるようになり、これがまさに ExtR(k,k) をコホモロジーとしてもつ微分次数付き環である。 Ext群もまた、完全系列のことばで解釈することができる。このことは、射影加群や入射加群の存在に依存しないという優位性を持っている。従って、上記の観点では、ExtnR(A, B) は、ある同値関係の下で、B で始まり、A で終わる長さ n + 2 の完全系列のクラスとなる。従って、これは ... → X1 → A → 0 と 0 → A → Yn → ... を ⋯ → X 1 → Y n → ⋯ {\displaystyle \cdots \rightarrow X_{1}\rightarrow Y_{n}\rightarrow \cdots } で置き換えることにより、ExtmR(C, A) の元とつなぎ合わされる。ここの中の矢印は、函数 X1 → A と A → Yn の合成である。積は米田接合積と呼ばれる。 これらの観点は、双方で意味を持つ場合は常に同値となる。 同様の解釈の下で、充分に良い条件下では、再び、Ext*R(k, M) は Ext*R(k, k) 上の加群である。
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