環の擬乗法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/10/02 17:25 UTC 版)
詳細は「ジャコブソン根基」を参照 また、必ずしも乗法単位元を持たない結合環 (K, +, 0, ×) において、擬乗法と呼ばれる演算 x ∗ y = x + y − x y {\displaystyle x*y=x+y-xy} を考えたとき、擬乗法に関する単位元は加法の単位元と同じ零元 0 であり、 x ∗ y = 0 {\displaystyle x*y=0} が満たされるときの x を y の左擬逆元、y を x の右擬逆元とよぶ。x が左擬可逆かつ右擬可逆ならば、x は擬正則であるという。K が通常の乗法に関して単位元 1 をもつとき、 x ∗ y = x + y − x y ⟺ ( 1 − x ) ( 1 − y ) = 1 − x ∗ y {\displaystyle x*y=x+y-xy\iff (1-x)(1-y)=1-x*y} となるので、x の擬正則であることと 1 − x が通常の意味での乗法に関して可逆であることとが同値になる。 局所環の項も参照
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