一般ディリクレ級数の係数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/08 06:02 UTC 版)
「一般ディリクレ級数」の記事における「一般ディリクレ級数の係数」の解説
収束軸 σ c {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{c}} が有限の値もしくは − ∞ {\displaystyle \scriptstyle -\infty } である、一般ディリクレ級数 f ( s ) = ∑ n ≤ x a n e − λ n s {\displaystyle f(s)=\sum _{n\leq x}a_{n}e^{-\lambda _{n}s}} に対して、ω を λ n < ω < λ n + 1 {\displaystyle \scriptstyle \lambda _{n}<\omega <\lambda _{n+1}} を満たす様にとり、 c > max ( σ c , 0 ) {\displaystyle \scriptstyle c>\max(\sigma _{c},\ 0)} とする。このとき ∑ k = 1 n a k = 1 2 π i ∫ c − i ∞ c + ∞ a n e ω z z d z {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+\infty }a_{n}{\frac {e^{\omega z}}{z}}dz} が成立する。但し、積分路は、すべての λ k {\displaystyle \lambda _{k}} を通らない様にとる。 さらに、 x > σ c {\displaystyle \scriptstyle x>\sigma _{c}} であるならば、 a n = lim T → ∞ 1 T ∫ x x + T f ( x + i y ) e λ n ( x + i y ) d y {\displaystyle a_{n}=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{x}^{x+T}\!\!f(x+iy)e^{\lambda _{n}(x+iy)}dy} 。
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