一様可積分な負の部分への拡張
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/24 03:03 UTC 版)
「ファトゥの補題」の記事における「一様可積分な負の部分への拡張」の解説
X1, X2, . . . を、確率空間 ( Ω , F , P ) {\displaystyle \scriptstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )} 上の確率変数の列とし、 G ⊂ F {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {G}}\,\subset \,{\mathcal {F}}} を部分σ-代数とする。もし、負の部分 X n − := max { − X n , 0 } , n ∈ N , {\displaystyle X_{n}^{-}:=\max\{-X_{n},0\},\qquad n\in {\mathbb {N} },} が条件付き期待値について一様可積分であるなら、すなわち、ε > 0 に対して E [ X n − 1 { X n − > c } | G ] < ε , ∀ n ∈ N {\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}}\,|\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}<\varepsilon ,\qquad \forall n\in \mathbb {N} } almost surely を満たすような c > 0 が存在するなら、 E [ lim inf n → ∞ X n | G ] ≤ lim inf n → ∞ E [ X n | G ] {\displaystyle \mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]} almost surely が成立する。 注釈: E [ max { X , 0 } | G ] = ∞ , {\displaystyle \mathbb {E} [\max\{X,0\}\,|\,{\mathcal {G}}]=\infty ,} を満たすような集合 X := lim inf n → ∞ X n {\displaystyle X:=\liminf _{n\to \infty }X_{n}} 上では、上の不等式の左辺は正の無限大であると見なされる。その下極限の条件付き期待値は、この集合上では、well-defind ではない場合もある。なぜならば、その負の部分の条件付き期待値も正の無限大となる可能性もあるからである。
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