一様分布の順序統計量
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/03/22 22:48 UTC 版)
標準一様分布からのk番目の順序統計量 U(k) が [u, u + du] の範囲に落ちる確率は n ! ( k − 1 ) ! ( n − k ) ! u k − 1 ( 1 − u ) n − k d u + O ( d u 2 ) {\displaystyle {n! \over (k-1)!(n-k)!}u^{k-1}(1-u)^{n-k}du+O(du^{2})} に等しい。よって、 U(k)の確率密度関数は、 f U ( k ) ( u ) = n ! ( k − 1 ) ! ( n − k ) ! u k − 1 ( 1 − u ) n − k = 1 B ( k , n − k + 1 ) u k − 1 ( 1 − u ) n − k {\displaystyle f_{U_{(k)}}(u)={n! \over (k-1)!(n-k)!}u^{k-1}(1-u)^{n-k}={1 \over B(k,n-k+1)}u^{k-1}(1-u)^{n-k}} で与えられる。ここで、B (k, n-k+1 )はベータ関数を表す。したがって、U(k)はベータ分布に従う確率変数 U ( k ) ∼ B ( k , n + 1 − k ) {\displaystyle U_{(k)}\sim B(k,n+1-k)} となる。 導出の詳細 証明は以下の通り。U(k) が u と u + du の間にあるためには、標本中の k − 1 個の要素が u より小さく、かつ少なくとも 1 個の要素が u と u + du の間にあることが必要である。複数の要素が後者の範囲にある確率は O (du2) となるため、求める確率は、k − 1 個の観測値が (0, u) に、1 個が (u , u +du) に、n − k 個が (u +du, 1) に落ちる場合に相当する。つまり、その確率は n ! ( k − 1 ) ! 1 ! ( n − k ) ! u k ⋅ d u ⋅ ( 1 − u − d u ) n − k {\displaystyle {n! \over (k-1)!1!(n-k)!}u^{k}\cdot du\cdot (1-u-du)^{n-k}} に等しい（詳しくは多項分布参照）。
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